Centro de Massa e Momento de Inércia

Teoria Completa

Aqui vamos ver uma aplicação física de integral de superfícies, calculando o centro de massa e momento de inércia! Mas antes, vamos relembrar como calcular uma integral de superfície!

Revisão: Integral de superfície

Para o cálculo de integral de superfície é importante seguir alguns passos. Vamos calcular a integral da função f ( x , y , z ) sobre a superfície S .

Passo 1: Parametrizar a superfície S pela função φ ( u , v )

Passo 2: Encontrar o vetor normal à superfície parametrizada e o seu módulo: N →

Passo 3: Resolver a integral

∬ S   f d S = ∬ D   f ( φ u ,   v ) N → d u d v

Esses são os passos básicos para resolver uma integral de superfície!

Centro de Massa

Antes de ver a aplicação da integral de superfície vamos aprender como são definidos o centro de massa e o momento de inércia.

O centro de massa pode ser interpretado como um ponto de equilíbrio do sistema, ou seja, se a massa toda da superfície se concentrasse em um ponto, este ponto seria o centro de massa. Ele é calculado pelas seguintes fórmulas:

x - = ∬ D x δ ( x , y , z ) d S ∬ D δ ( x , y , z ) d S

y - = ∬ D y δ ( x , y , z ) d S ∬ D δ ( x , y , z ) d S

z - = ∬ D z δ ( x , y , z ) d S ∬ D δ ( x , y , z ) d S

Onde δ ( x , y , z ) é a densidade da superfície.

Quando a densidade é constante, ela pode ser retirada da integral. Nesse caso a gente tem o chamado centroide da superfície. Na prática o que iremos calcular é:

x c = ∬ D x δ ( x , y , z ) d S ∬ D δ ( x , y , z ) d S

y c = ∬ D y δ ( x , y , z ) d S ∬ D δ ( x , y , z ) d S

z c = ∬ D z δ ( x , y , z ) d S ∬ D δ ( x , y , z ) d S

Momento de inércia

O momento de inércia é o momento, em relação a um eixo, que aquela superfície teria se toda sua massa estivesse concentrada no centro de massa. Ele depende de um eixo referencial! O momento de inércia em relação a um eixo L é definido por:

I L = ∬ D d 2 x , y , z δ x , y , z d x d y

Onde, d ( x , y , z ) é a distância do ponto x , y , z à reta L .

Caso particular: Geralmente calculamos o momento de inércia em relação aos eixos coordenados x , y e z que são:

I x = ∬ D ( y 2 + z 2 ) δ x , y , z d y d z

I y = ∬ D ( x 2 + z 2 ) δ x , y , z d x d z

I z = ∬ D ( x 2 + y 2 ) δ x , y , z d x d y

Observação: Às vezes é pedido que se calcule o raio de rotação ou de giração. Vamos entender o conceito de raio de rotação! Você tem uma superfície de massa M   e quer calcular o a distância que teríamos que colocar uma fita de massa M , paralela a L , e que tenha o mesmo momento de inércia da sua superfície! O raio de giração é calculado por:

I L = M k L 2

k L = I L M

Exemplo: Encontre o centroide da superfície cortada do cilindro x 2 + y 2 = 9 , pelos planos z = 0 e z = 3 .

Para o cálculo do centro de massa da superfície devemos encontrar:

x c = ∬ D x d S ∬ D d S ,   y c = ∬ D y d S ∬ D d S ,   z c = ∬ D z d S ∬ D d S

Ou seja, devemos resolver quatro integrais de superfície, e para isso devemos seguir os três passos mostrados na revisão de integral de superfície!

Passo 1: Parametrizar a superfície S pela função φ ( θ , t )

Vamos começar parametrizando a superfície! Como temos um cilindro, a parametrização cilíndrica parece ser a certa!

x = 3 sen ⁡ θ y = 3 cos ⁡ θ z = t

Assim a função parametrização é,

φ θ ,   t = ( 3 sen ⁡ θ ,   3 cos ⁡ θ ,   t )  

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ t ≤ 3

Passo 2: Encontrar o vetor normal à superfície parametrizada e o seu módulo: N → θ ,   t

Tendo a função φ , agota temos que calcular o módulo da normal para resolver a integral de superfície!

A normal de uma função parametrizada por φ é:

N → t , θ = ∂ φ ∂ t × ∂ φ ∂ θ

N → t , θ =   i j k 0 0 1   3  cos ⁡ θ - 3  sen ⁡ θ 0

N → t , θ = ( 3  sen ⁡ θ , 3   cos ⁡ θ ,   0 )

Então,

N → t ,   θ = 9   s e n 2 θ + 9 cos 2 ⁡ θ  

Usando a relação fundamental da trigonometria, s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1 , temos:

N → t ,   θ = 9   = 3

Pronto, agora temos o módulo da normal!

Passo 3: Resolver as integrais de superfície

∬ S   f d S = ∬ D   f ( φ u ,   v ) N → u ,   v d u d v

A primeira integral é o denominador comum das três coordenadas do centro de massa!

∬ D d S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 d t d θ = 3 ⋅ 2 π ⋅ 3 = 18 π

Agora vamos calcular cada uma das coordenadas,

x c = ∬ D x d S ∬ D d S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 3 sen ⁡ θ d t d θ 18 π = 3 ∫ 0 2 π 3 ⋅ 3 sen ⁡ θ d t d θ 18 π

x c = 3 - 9 cos ⁡ θ 0 2 π 18 π = 0

y c = ∬ D y d S ∬ D d S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 3 cos ⁡ θ d t d θ 18 π = 3 ∫ 0 2 π 3 ⋅ 3 cos ⁡ θ d t d θ 18 π

y c = 3 9 sen ⁡ θ 0 2 π 18 π = 0

y c = ∬ D y d S ∬ D d S = 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 t d t d θ 18 π = 3 ⋅ 2 π ⋅ t 2 2 0 3 18 π

y c = 6 π ⋅ 9 2 18 π = 3 2

Resposta:

Assim, o centro de massa da superfície é o ponto:

C . M .   =   0 ,   0 , 3 2

Exemplo: Agora vamos considerar a mesma superfície com densidade constante δ , de o momento de inercia em relação ao eixo x e seu raio de giração.

Para isso, devemos usar as fórmulas,

I x = ∬ D ( y 2 + z 2 ) f x , y , z d S

k x = I x M ,     M = ∬ D f x , y , z d S

Como a densidade é constante δ :

f x ,   y , z = δ  

Ou seja, devemos resolver integrais de superfície e para isso seguir os três passos fundamentais!

Passo 1: Parametrizar a superfície S pela função φ ( θ , t )

Vamos começar parametrizando a superfície! Como temos um cilindro, a parametrização cilíndrica parece ser a certa!

x = 3 sen ⁡ θ y = 3 cos ⁡ θ z = t

Assim a função parametrização é,

φ θ ,   t = ( 3 sen ⁡ θ ,   3 cos ⁡ θ ,   t )  

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ t ≤ 3

Passo 2: Encontrar o vetor normal à superfície parametrizada e o seu módulo: N → θ ,   t

Tendo a função φ , agota temos que calcular o módulo da normal para resolver a integral de superfície!

A normal de uma função parametrizada por φ é:

N → t , θ = ∂ φ ∂ t × ∂ φ ∂ θ

N → t , θ =   i j k 0 0 1   3  cos ⁡ θ - 3  sen ⁡ θ 0

N → t , θ = ( 3  sen ⁡ θ , 3   cos ⁡ θ ,   0 )

Então,

N → t ,   θ = 9   s e n 2 θ + 9 cos 2 ⁡ θ