Superfície Aberta

Teoria Completa

Revisão – Teorema de Gauss

Sendo ∂ W uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região sólida W e F → um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em W , pelo Teorema de Gauss pode-se afirmar que:

∬ ∂ W   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

Superfícies Abertas

Vimos que o Teorema de Gauss é usado para superfícies fechadas, nas quais é possível calcular o volume! Agora e se tivermos uma superfície aberta, o que fazer?

Vamos fechar a superfície!! Fechando a superfície é possível aplicar o teorema de Gauss, ou seja, fazendo uma união de superfícies. O Teorema de Gauss fica sendo:

∬ S 1   F → . n →   d s + ∬ ∂ W   F → . n →   d s = ∭ W   d i v F →   d V

Onde, W é o sólido fechado, S 1 é a “tampa” do sólido e ∂ W é a superfície original. Veja este exemplo:

Digamos que seja pedido o fluxo de F → sobre essa superfície azul, um semicone e que você queira aplicar o Teorema de Gauss. Primeiramente, você deve definir sua região W , pois a superfície dada não limita nenhuma região, ou seja, você deve “fechar” a região. Como? Depende do problema, procure sempre simplificar as contas. Vamos utilizar, por exemplo, um plano.

Agora sim, temos uma região W , compreendida entre o plano e o semicone. Temos, então:

∬ s e m i c o n e   F → . n →   d s + ∬ p l a n o   F → . n →   d s = ∭ w   d i v F →   d V

∬ s e m i c o n e   F → . n →   d s = ∭ w   d i v F →   d V - ∬ p l a n o   F → . n →   d s

Podemos, então, calcular o fluxo sobre a superfície azul dessa forma, utilizando a definição de integral de superfície para a integral sobre o plano. Esse raciocínio é muito semelhante ao que vimos com o Teorema de Green, muitas vezes tínhamos que fechar a curva dada pelo problema.

Importante!!

Ao usar o Teorma de Gauss a superfície do sólido é dita orientada positivamente caso o vetor normal em qualquer ponto esteja apontando para fora da superfície!

Devemos tomar cuidado ao fechar o sólido, a nova superfície, ou seja, a tampa deve manter a orientação da superfície, resultando num sólido orientado positivamente!

Observação: Uma relação importante é a do divergente do rotacional, ao fazer está operação temos um resultado interessante! Veja só!

Seja um campo vetorial F → = ( F 1 ,   F 2 ,   F 3 ) , assim

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z F ! F 2 F 3 = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

G → = r o t F → =   ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z ,   ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x ,   ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

Agora vamos fazer o divergente de G → ,

d i v G → = ∂ G 1 ∂ x +   ∂ G 2 ∂ y + ∂ G 3 ∂ z

d i v G → =   ∂ 2 F 3 ∂ y ∂ x - ∂ 2 F 2 ∂ z ∂ x +   ∂ 2 F 1 ∂ z ∂ y - ∂ 2 F 3 ∂ x ∂ y + ∂ 2 F 2 ∂ x ∂ z - ∂ 2 F 1 ∂ y ∂ z

d i v G → = 0

Como G → = r o t F → ,

d i v r o t F → = 0

Pronto! Então todo divergente do rotacional é zero! Mas pra que diabos alguém usaria isso?

Bom, em algumas questões malignas você pode ter que usar Gauss e Stokes juntos! Pois é, nego perde a linha né? Mas é isso aí, bora praticar um pouco!

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Exercício Resolvido #1

USP - Cálculo 3 - PSUB 2012 – 4

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = e y 2 + x , y + 1 , z e S é a parte da superfície 4 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 com y ≥ 0 sendo N → a normal tal que N → . j → ≥ 0 .

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Passo 1

Vamos começar com um esboço da região para entender melhor o que está acontecendo. Temos o elipsoide:

x 2 + y 2 4 + z 2 2 = 1

Com y ≥ 0 . É isso aqui então:

Passo 2

Como deve dar trabalho calcular isso ai pela definição (dá uma olhada no campo), vamos tentar usar Gauss aqui. Começarmos calculando esse divergente:

d i v F → = ∂ F 1 ∂ x +   ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

d i v F → = 1 + 1 + 1 = 3

Olha que maravilha isso aqui.

Passo 3

Para usar Gauss, precisamos fechar essa região.Vamos fechar com esse disco (elipse) que a borda de S forma, pode ser? Então, temos isso aqui:

∬ S   F → . n →   d s + ∬ e   F → . n →   d s = ∭ w   d i v F →   d V

Sendo W a região na figura acima, orientada positivamente, e e é a elipse que fecha S . Temos então:

∬ S   F → . n →   d s = 3 ∭ w   d V - ∬ e   F → . n →   d s

∬ S   F → . n →   d s = 3 V o l u m e ( W ) - ∬ e   F → . n →   d s

Onde V o l u m e ( W ) é metade do volume do elipsoide. Lembra que o volume de um elipsoide é dado por isso aqui?

V o l u m e e l i p s o i d e = 4 3 π   a b c

Onde a , b , c são as raízes dos denominadores de x 2 , y 2 e z 2 (os semeixos do elipsoide):

a = 1

b = 2

c = 2

Portanto:

V o l u m e e l i p s o i d e = 8 π 2   3  

Isso nos dá:

∬ S   F → . n →   d s = 3 × 1 2 × 8 π 2   3 - ∬ e   F → . n →   d s

∬ S   F → . n →   d s = 4 π 2 - ∬ e   F → . n →   d s

Passo 4

Agora precisamos da integral na elipse. Para descobrir sua equação vamos fazer y = 0 na equação do elipsoide:

x 2 + 0 + z 2 2 = 1

x 2 + z 2 2 = 1

Vamos parametrizar isso aí em coordenadas elipticas então:

φ r , θ = r cos ⁡ θ ,   0 , 2 r s e n   θ  

Onde 0 ≤ θ ≤ 2 π e 0 ≤ r ≤ 1 .

Lembrando que a elipse pertence ao plano y = 0 . Show, agora vamos achar a sua normal:

∂ φ ∂ r = cos ⁡ θ , 0 ,   s e n   θ

∂ φ ∂ θ = - r   s e n   θ ,   0 ,   2 r cos ⁡ θ