1.

Encontre o fluxo do campo

F = e y + cos ⁡ y z , - 2 z y + s e n x z , z 2 + 3 2

Através da superfície S , orientada positivamente, união das superfícies S 1 e S 2 , onde S 1 é definida por:

z = 4 - 2 x 2 - y 2

z ∈ 0,2

E S 2 tem equação:

z = 1 + x 2 + y 2 2

z ∈ 1,2

Resolução
2.

Seja S a porção da esfera: x 2 + y 2 + z 2 = 1

Compreendida entre os planos z = 0 e z = y , com y ≥ 0 . Calcular: K = ∬ S   F ∙ n →   d S

Onde n → é a normal unitária a S cuja terceira coordenada é sempre positiva e F é definido por:

F = ln ⁡ 1 + y 2 2 + cos ⁡ z , 1,2 z

Resolução
3.

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = e y 2 + x , y + 1 , z e S é a parte da superfície 4 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 com y ≥ 0 sendo N → a normal tal que N → . j → ≥ 0 .

Resolução
4.

Considere a superfície S obtida girando-se o segmento de reta que liga os pontos ( 1,0 , 1 ) e ( 0,0 , 3 ) em torno do eixo z . Calcule:

∬ S   r o t F → ∙ n → d S

Onde n é o campo dos vetores normais exterior a S e F é um campo vetorial em R 3 definido por:

F → = - y 3 3 + z e x , x 3 3 - cos ⁡ y z , x y

Resolução
5.

Calcule ∬ S F ⋅ n d S , onde F x   , y ,   z = ( x ,   - 2 y + e x c o s z ,   z + x 2 ) e S   é definida por:

z = 9 - x 2 + y 2     ,               0 ≤ z ≤ 5 z = 5     ,                                       1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 z = 8 - 3 x 2 + y 2   ,       x 2 + y 2 ≤ 1

Com campo de vetores normais exterior a S .

Resolução
6.

Calcule ∬ S   F → . N → d S onde F → x , y , z = e y 2 + x , y + 1 , z e S é a parte da superfície 4 x 2 + y 2 + 2 z 2 = 4 com y ≥ 0 sendo N → a normal tal que N → . j → ≥ 0 .

Resolução
7.

Calcule

∬ S   F → . n → d S

Onde F → x , y , z = - y + ln ⁡ ( z 2 + 1 ) i → + x 2 + y j → + e y + z + a r c t g ( x + 5 ) k → e S é a superfície y = 9 - x 2 - z 2 ,   y ≥ 0 , orientada pela normal n → que satisfaz n → . j → > 0 .

Resolução
8.

Calcule

∬ S     y 3 d y ∧ d z + 3 y x + ln ⁡ z 2 + 1 d z ∧ d x + z 2 - 3 x z - x 2 d x ∧ d y

Onde S é a superfície dada por x 2 + y 2 4 + z 2 9 = 1 , z ≥ 2 , orientada pela normal unitária n → que satisfaz n → . k → > 0 .

Resolução
9.

Seja S a porção da esfera: x 2 + y 2 + z 2 = 1

Compreendida entre os planos z = 0 e z = y , com y ≥ 0 . Calcular: K = ∬ S   F ∙ n →   d S

Onde n → é a normal unitária a S cuja terceira coordenada é sempre positiva e F é definido por:

F = ln ⁡ 1 + y 2 2 + cos ⁡ z , 1,2 z

Resolução
10.

Seja F x , y , z = ( y 2 , y z ,   1 ) um campo vetorial em R 3 .

Seja S a superfície parametrizada por

S = { x , y , z ∈ R 3 ;     z = x 2 + y 2 - 1 ,       z ≤ 0 }

e orientada de forma que o vetor normal possua terceira componente não positiva.

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície S .

Resolução
11.

Calcule o fluxo do campo vetorial

F → x , y , z = 2 x z , y , - z 2 - z

Através da superfície S definida por

y = 1 4 - x 2 - z 2

Com campo vetorial normal n → tendo componente y positiva.

Resolução
12.

Questão 2: Calcule o fluxo

∬ S   F ⋅ d S →

Do campo vetorial

F x ,   y ,   z = x + e z 2 ,   y - e z 2 ,   z + 3

Através da superfície S definida como sendo a porção da esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 satisfazendo a condição x + y + z ≥ 0 orientada com o vetor norma apontando para fora da esfera.

Resolução
13.

7) Calcule o fluxo do campo F → x ,   y ,   z = x y 2 + e y i → + y z 2 + sin 2 ⁡ x j → + 5 + z x 2 k → , através da superfície aberta S : z = 4 - x 2 - y 2 ,   z ≥ 0 , com n → tendo componente z positiva.

Resolução
14.

8) Seja F → x ,   y ,   z = z   a r c t a n   y 2   i → + z 3   l n   x 2 + 1   j → + z k → . Determine o fluxo de F → através da parte do parabolóide x 2 + y 2 + z = 2 que está acima do plano z = 1 , sendo n → a normal com a componente z não negativa.

Resolução
15.

Calcule ∬ D F → . n → d S , onde F → x , y , z = x i → + - 2 y + e x cos ⁡ z j → + z + x 2 k → e S é definida por z = 9 - x 2 - y 2 , 0 ≤ z ≤ 5 ,   { z = 5,1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 } e { z = 8 - 3 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≤ 1 }

Resolução
16.

Calcule ∬ S r o t F → ∙ n → d S onde F → x , y , z = y , 2 x , x y z , S é formada pelas cinco faces do cubo 0,2 × 0,2 × 0,2 que não estão no plano x y com n → exterior a S , usando o teorema de Gauss.

Resolução
17.

12) Seja a superfície cônica S de vértice 0 ,   0 ,   h , h > 0 , de base situada no plano x y com raio 1 e n → com componente k → não negativa. Seja

F → x ,   y ,   z = ∂ f ∂ y x ,   y ,   z   i → - ∂ f ∂ x x ,   y ,   z   j → + 2 z + 1 k →

Sendo f x ,   y ,   z de classe C 2 em R 3 . Calcule o fluxo de F → através de S .

Resolução
18.

15) Considere o campo vetorial F → x ,   y ,   z = 2 x + e z i → + 3 y - z e x j → + z - 2 k → , seja S a calota esférica x 2 + y 2 + z 2 = a 2 , com z ≥ 0 e raio a > 0 . Sabendo que o fluxo de F → na direção da normal exterior n → é igual a 2 π a 3 , calcule o raio da calota.

Resolução
19.

Calcule ∬ S r o t F → ∙ n → d S , sendo F → x , y , z = x 2 y + 2 i → + x 3 + y 4 j → + 2 y z - 1 k → e S a parte da esfera x 2 + y 2 + z 2 - 4 z = 0 , com z ≤ 1 , orientada com n → exterior.

Resolução
20.

18) Seja f : R 3 → R de classe C 2 , tal que ∇ 2 f = x 2 + y 2 e

∂ f ∂ z x ,   y ,   1 = 1 3

Para todo x ,   y ,   1 ∈ R 3 .

Calcule

∬ S   ∂ f ∂ n →   d S

Onde S é a lata cilíndrica com fundo e sem tampa dada por x 2 + y 2 = 1 , 0 ≤ z ≤ 1 , z = 0 , com vetor normal n → apontando para fora de S .

Resolução
21.

Encontre o fluxo do campo F → = e y + cos ⁡ y z i → + - 2 z y + sen ⁡ x z j → + z 2 + 3 2 k → através da superfície S , orientada positivamente, S = S 1 ∪ S 2 , onde S 1 :   z = 4 - 2 x 2 - y 2 , 0 ≤ z ≤ 2 e S 2 : z = 1 + x 2 + y 2 2 , 1 ≤ z ≤ 2 .

Resolução
22.

21) Calcule

∬ S   r o t   F → ⋅ n →   d S

Sendo F → x ,   y ,   z = x j → + x y k → , através de S : x 2 + y 2 + z 2 4 ,   z ≤ 1 , orientada de forma que o vetor normal no ponto 0 ,   0 ,   - 2 seja o vetor - k → .

Resolução
23.

Seja S a parte da superfície z = 1 - 4 x 2 - y 2 limitada pelo plano z = 0 e orientada pela normal unitária N → tal que N → 0,0 , 1 = k → . Se F → x , y , z = - y , x , a r c t g e x + y + z , então o valor de ∫ ∫ S ( r o t   F → ) ⋅ N → d σ é:

a) - 3 π

b) 4 π

c) 2 π

d)   π

e) - 2 π

Resolução
24.

Seja S a parte do hiperboloide 1 + z 2 = x 2 + y 2 , com 0 ≤ z ≤ 1 , orientada de modo que a normal unitária N → satisfaça N → ⋅ k → ≥ 0 . Então

∫ ∫ S cos ⁡ z 2 d y ∧ d z + s e n x 3   d z ∧ d x + e x 2 + y 2   d x ∧ d y

é igual a:

a) π e 2 - e

b) 2 π e - 1

c) 2 π e - 1 e

d)   2 π e 2 - 1

e) π e - 1 e

Resolução
25.

Seja S a parte da superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1 , com z ≥ 0 , orientada pela normal unitária N → 0,0 , 1 = k → (exterior à esfera). O valor da integral de superfície

∫ ∫ S e y 2 d y ∧ d z + cos ⁡ z 9 + 7 d z ∧ d x + z + 1   d x ∧ d y

é igual a:

a) 7 π 3

b) 5 π 3

c) 4 π 3

d) 10 π 3

e) 8 π 3

Resolução
26.

Seja S a parte do paraboloide z = 9 - x 2 - y 2   com 0 ≤ z ≤ 5 , orientada pela normal unitária N → tal que N → ⋅ k → ≥ 0 e F → x , y , z = ( 0 , Q x , y , z , 0 ) um campo vetorial de classe C 1 , definido em um aberto que contenha S . Considere as afirmações:

(I) ∫ ∫ S F → ⋅ N → d σ = ∫ - 3 3 ∫ - 9 - x 2 9 - x 2 ∫ 0 9 - x 2 - y 2 d i v   F → d z d y d x .

(II) ∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 3   ∫ 0 2 π Q 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0 cos ⁡ t d t .

(III) ∫ ∫ S r o t   F → ⋅ N → d σ = 2 ∫ 0 2 π Q 2 cos ⁡ t ,   2   s e n   t ,   5 cos ⁡ t d t + 3   ∫ 0 2 π Q 3 cos ⁡ t ,   3   s e n   t ,   0 cos ⁡ t d t .

Nessas condições, podemos afirmar que:

a) nenhuma das afirmações é verdadeira para todo campo F → .

b) apenas as afirmações (I) e (II) são verdadeiras para todo campo F → .

c) apenas as afirmações (II) e (III) são verdadeiras para todo campo F → .

d) apenas a afirmação (III) é verdadeira para todo campo F → .

e) todas as afirmações são verdadeiras para todo campo F → .

Resolução
27.

Sejam F → = - a 2 y + z e x i ^ + a 2 x - z e y j ^ + x y   k ^   com a > 0 e G → = ∇ → × F → .

a) Mostre que ∇ → ⋅ G → = 0 .

b) Seja S a superfície união de S 1 : x 2 + y 2 - z 2 = 1 , 0 ≤ z ≤ a e S 2 : x 2 + y 2 ≤ 1 ,   z = 0 .

Se ∬ S G → ⋅ n ^ d S = - 6 π quando n ^ aponta “para fora” de S , calcule o valor de a .

(Dica: A superfície S não é fechada. Feche-a e utilize o Teorema do Divergente.)

Resolução
28.

Calcule o fluxo

∬ S F → ∙ d S →

Do campo vetorial

F → x , y , z = x sen ⁡ y - y + e z , y + cos ⁡ y - e z ,   1 - x sen ⁡ y - cos ⁡ y

Através da superfície

S = x , y , z x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   c o m   x + y + z ≥ 0

Orientada com vetor normal apontando para fora da esfera.

Resolução
29.

Use o Teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo F → definido por

F → = x 2 y ,   x y 2 ,   5 - 4 x y z

Através da superfície dada pela equação x 2 + y 2 + z = 1 com z ≥ 0 , orientada tal que o seu vetor normal tem coordenada z negativa.

Resolução
30.

Considere o campo vetorial

F → x ,   y ,   z = 2 x z + z cos ⁡ y ,   e x - 2 z ,   8 y 2 .

  1. Calcule o fluxo de F → através do disco D dado pela interseção da esfera x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2