Reta Normal e Plano Tangente

Teoria Completa

Gráfico de Superfícies

Aqui vamos aprender a pegar a parametrização da superfície e achar o seu gráfico!

Lembra de como conferimos se as parametrizações cilíndricas e esféricas estavam corretas?! Se não lembra não tem problema! Vamos ver aqui de novo!

Esse é um tipo totalmente prático! Então alguns exemplos vão ajudar mais do que explicações genéricas!

Exemplo: Seja a equação parametrizada φ t , u = t - 2 , 4 - u - 2 t 3 , u , vamos encontrar sua equação explícita! Mas como começo um problema desses?!

Organizar as variáveis é um bom começo!

x = t - 2 y = 4 - u - 2 t 3 z = u

Agora temos que encontrar uma maneira de relacionar x ,   y   e z . Neste caso, uma maneira de se fazer é isolar os parâmetros em função de qualquer uma das variáveis e substituir na outra! Sei que não ficou muito claro! Rs

Mas na prática é mais simples, olhe:

t = x + 2 u = z  

A única variável que não usamos foi y ! Então o que acha de substituir t e u na equação do y ?! Vamos ver se é uma boa ideia:

y = 4 - u - 2 t 3   →   y = 4 - z - 2 x + 2 3

Já deu pra notar que não temos mais t e u na expressão? Então, agora é legal reorganizar o que encontramos!

3 y = 4 - z - 2 x - 4

2 x + 3 y + z = 0

Temos uma equação explícita que representa um plano!

Exemplo: Este exemplo é um caso diferente e mais complicado que o anterior. Temos a seguinte equação paramétrica:

φ u , t = 3 u sen ⁡ t , 2 u cos ⁡ t , u

O início é parecido com o exemplo anterior, então vamos começar organizando as variáveis:

x = 3 u sen ⁡ t y = 2 u cos ⁡ t z = u

No exemplo anterior deixamos os parâmetros em função de duas variáveis e substituímos na terceira. Neste caso fica difícil isolar t   em função de alguma variável.... Não desanime! Vamos relembrar uma relação importante que vimos no tipo anterior!

A relação fundamental da trigonometria! Então, temos que:

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1  

Mas conhecemos os valores de s e n t   e c o s ⁡ ( t ) , não?!

cos ⁡ t = y 2 u sen ⁡ t = x 3 u

Substituindo na relação fundamental temos:

y 2 u 2 + x 3 u 2 = 1

Hum.... Mas ainda temos o parâmetro u   na nossa equação. Olhando as variáveis vemos que u = z , então vamos substituir e ver no que dá!

y 2 4 z 2 + x 2 9 z 2 = 1

Reorganizando para ficar mais clara a superfície, temos:

y 2 4 + x 2 9 = z 2

Pronto! Agora já aprendemos mais uma forma de achar nossa equação cartesiana!

Macete para fazer gráficos

Agora que sabemos encontrar a equação cartesiana, para que ele vai ser útil?!

Bom, para construir um gráfico existe um macete que funciona melhor se a superfície estiver na sua forma explícita!

A dica é: Zerar uma variável de cada vez!

Vamos ver um exemplo para ajudar!

Exemplo: Construa o gráfico da equação z = x 2 + y 2

Vamos começar vendo o que acontece quando fazemos x = 0 , a equação fica z = y 2 que é uma parábola com vértice na origem no plano y z , veja:

Agora vamos fazer y = 0 , então temos z = x 2 , que da mesma forma teremos uma parábola com vértice na origem e no plano x z , veja:

Por fim, fazendo z = 0 , temos que x 2 + y 2 = 0 que somente ocorre na origem! Então a interseção da superfície com o plano x y é um ponto, mais especificamente a origem.

Agora que vimos a interseção de cada plano com a superfície fica mais fácil de desenhá-la! Olha o resultado final:

Reta Normal e Plano Tangente

Já sabemos parametrizar superfícies de forma explicita, avançada, etc. Para começarmos a integrar superfícies pra valer, vamos precisar acrescentar esse novo conteúdo: a reta normal e o plano tangente à superfície.

Dada uma superfície qualquer, para cada ponto P 0 dela vai existir um plano tangente e um vetor normal. Vê, por exemplo, esse paraboloide z = 9 - x 2 - y 2 , no ponto P 0 = 2 2 , 2 2 , 8 somente existe esse plano tangente (azul) e esse vetor normal (preto):

Perceba que os conceitos de plano tangente e vetor normal estão associados, certo? O plano tangente é mais fácil de enxergar, é aquela história de somente “encostar” em um ponto na superfície. O vetor normal vai ser aquele perpendicular a esse plano que criamos. Meio abstrato demais? Vamos colocar umas contas, então!

Exemplo

Beleza, como calculamos isso? Primeiro vamos precisar de uma parametrização da superfície, no caso, o nosso paraboloide. A parametrização explícita vai ser essa aqui:

φ x , y = ( x , y , 9 - x 2 - y 2 )

Para achar o vetor normal, sempre vamos precisar derivar nossa superfície em relação aos dois parâmetros de forma independente, assim, olha:

∂ φ ∂ x = 1,0 , - 2 x

∂ φ ∂ y = ( 0,1 , - 2 y )

A nossa primeira derivada, naquele ponto P 0 = 2 2 , 2 2 , 8 , graficamente pertence ao plano tangente! Fica assim:

A segunda derivada também vai pertencer ao plano tangente! Fica assim:

Po, se temos dois vetores que pertencem ao plano tangente, podemos descobrir a equação do seu vetor normal e, consequentemente, descobrir a equação do plano! Pra isso, faremos o produto vetorial entre essas duas derivadas:

N → = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

N → = 1,0 , - 2 x × 0,1 , - 2 y = i j k 1 0 - 2 x 0 1 - 2 y

Lembra como resolve esse determinante? A gente repete as duas primeiras colunas e depois multiplica tudo cruzado:

N → = 2 x i + 2 y j + k = ( 2 x , 2 y , 1 )

Essa é a normal em qualquer ponto do paraboloide! Geralmente a questão vai te pedir a normal em um ponto P 0 específico. Não tem problema, é só substituir os valores! No nosso exemplo:

P 0 = 2 2 , 2 2 , 8

N → = ( 2 , 2 , 1 )

Tendo a normal e o ponto P 0 , encontrar a equação do plano é simples: usamos essa equação aqui:

N → . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

2 , 2 , 1 . x - 2 2 , y - 2 2 , z - 8 = 0

2 x - 2 2 + 2 y - 2 2 + z - 8 = 0

2 x + 2 y + z = 10

A equaç��o da reta normal é essa aqui embaixo

r t = P 0 +   N → t

No nosso caso, vamos ter:

x t = 2 2 + 2 t

y t = 2 2 + 2 t

z t = 8 + t

Macete – Parametrização Explícita

Quando temos a parametrização explícita, ou seja, φ x , y = x , y , f x , y , existe uma fórmula que dá direto o nosso vetor normal!

N → = - ∂ f ∂ x , - ∂ f ∂ y , 1

No nosso exemplo do paraboloide, f x , y = 9 - x 2 - y 2

∂ f ∂ x = - 2 x ,     ∂ f ∂ y = - 2 y

Na fórmula do nosso macete:

N → = 2 x , 2 y , 1

Vê se não deu igual ao resultado que achamos fazer toda aquela conta!

Simples né, mas cuidado! Não é sempre que a parametrização explícita é fácil, mas quando o problema já te dá uma parametrização explícita pode usar isso aí!

Pra fechar esse tipo de exercício, vamos fazer um passo a passo de como encontrar a equação da reta normal e do plano tangente à superfície:

Passo 1: Encontrar a parametrização da superfície

Passo 2: Derivar a superfície em relação aos dois termos separadamente

Passo 3: Calcular o vetor normal pelo produto vetorial das duas derivadas

Passo 4: Encontrar a parametrização da reta normal – x ( t ) y ( t ) e z t – a partir do ponto P 0 e do vetor N →

Passo 5: Obter a equação do plano tangente pelo produto escalar:

N → . x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de Cálculo – volume 3, 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997, pp. 208 – 1c

Desenhe a imagem da superfície parametrizada dada por

ϕ u , v = u , v , 1 - u - v  

u ≥ 0

v ≥ 0

u + v ≤ 1

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Passo 1

Vamos encontrar a equação da superfície não parametrizada, assim, devemos fazer as substituições:

x = u y = v z = 1 - u - v

Passo 2

Substituindo os valores de u , v na expressão do z a gente vai ter isso aqui

z = 1 - u - v → z = 1 - x - y

Passo 3

Temos que a imagem é um plano que é delimitado pelas desigualdades previstas no enunciado.

u ≥ 0

v ≥ 0

u + v ≤ 1

Que passando para as variáveis x , y e z ,   temos:

x ≥ 0

y ≥ 0

Agora a última desigualdade a gente pode fazer o seguinte

z = 1 - u - v → u + v = 1 - z

u + v ≤ 1 → 1 - z ≤ 1 ∴ z ≥ 0  

Passo 4

A imagem da superfície parametrizada será:

Resposta

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2014.1 - 2a

Quais superfícies dadas na figura abaixo correspondem às parametrizações II e IV:

I r u , v = 2 + cos ⁡ v cos ⁡ u , 2 + cos ⁡ v sen ⁡ u , sen ⁡ v ,     u , v ∈ 0,2 π I I r u , v = cos ⁡ u , sen ⁡ u , v ,     u ∈ 0,2 π ,   v ∈ 0,2 I I I r u , v = a sen ⁡ u cos ⁡ v , a sen ⁡ u sen ⁡ v , a cos ⁡ u ,     u ∈ 0 , π   e   v ∈ 0,2 π I V r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u ,     u ∈ 0,4 , v ∈ 0,2 π

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Passo 1

Vamos olhar as parametrizações de I I e I V , primeiro com I I

r u , v = cos ⁡ u , sen ⁡ u , v ,     u ∈ 0,2 π ,   v ∈ 0,2

Repara que temos

cos 2 ⁡ u + sen 2 ⁡ u = 1

Então

x 2 + y 2 = 1

Isso é uma circunferência, e ela independe do valor de v , ou seja, ela vai ficar sendo repetida para cada valor de v entre 0 e 2 , e a figura que fica assim é o cilindro, ou seja, a quarta figura.

Passo 2

Vamos olhar agora a parametrização de I V

r u , v = u cos ⁡ v , u sen ⁡ v , u ,     u ∈ 0,4 , v ∈ 0,2 π

Aqui se temos um seno e cosseno de novo, fazemos x 2 + y 2 e vamos ter

u cos ⁡ v 2 + u sen ⁡ v 2

u 2 cos 2 ⁡ v + u 2 sen 2 ⁡ v

u 2 cos 2 ⁡ v + sen 2 ⁡ v

u 2

Dessa vez sobrou aquele u 2 , mas isso é z 2 na nossa parametrização, então vamos ter

x 2 + y 2 = z 2

E essa equação é de um cone, e dentro das figuras o cone é a terceira figura.

Resposta

I I →

I V →

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Encontre a equação da reta normal e do plano tangente à superfície parametrizada por φ u , v = ( u , v , u 2 v 2 ) no ponto P 0 = ( 1,2 , 4 )

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Passo 1

Equação da reta normal e plano tangente né? Sabemos que precisamos encontrar o vetor normal para poder descobrir o que o enunciado pede, para isso vamos usar aquela fórmula:

N → = ∂ φ ( u , v ) ∂ u × ∂ φ ( u , v ) ∂ v

Ou então usamos aquele macete da parametrização explícita! Isso vai de cada um, nesse primeiro exercício vamos fazer os dois pra deixar claro como é, a partir do próximo vamos escolher o que for mais simples!

Depois que acharmos a normal N → = a , b , c com o P 0 = x 0 , y 0 , z 0 , nossa parametrização da reta normal vai ser:

x t = x 0 + a t

y t = y 0 + b t

z t = z 0 + c t

Em seguida, para calcular a equação do plano, vamos usar o produto escalar da teoria também, se você não lembra é esse aqui:

N → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

Vamos lá?

Passo 2

Calculando a normal pelo produto vetorial, vamos precisar derivar a superfície em u e v :

∂ φ u , v ∂ u = 1,0 , 2 u v 2

∂ φ ( u , v ) ∂ v = ( 0,1 , 2 u 2 v )

N → = ∂ φ u , v ∂ u × ∂ φ u , v ∂ v

N → = i j k 1 0 2 u v 2 0 1 2 u 2 v i j 1 0 0 1 = 1 k - 2 u v 2 i + 2 u 2 v j = ( - 2 u v 2 , - 2 u 2 v , 1 )

Para calcular a normal pelo macete, usamos essa fórmula aqui, sendo a parametrização explícita em φ x , y = x , y , f x , y :

N → = - ∂ f x , y ∂ x , - ∂ f x , y ∂ y , 1

No nosso caso as variáveis são u e v , mas não faz diferença, podemos usar a mesma fórmula:

f u , v = u 2 v 2

∂ f u , v ∂ u = 2 u v 2

∂ f u , v ∂ v = 2 u 2 v

N → = - 2 u v 2 , - 2 u 2 v , 1

Temos a equação do vetor normal em qualquer ponto, certo? Mas só precisamos do valor dele no ponto P 0 = ( 1,2 , 4 ) . Como x = u e y = v , esse ponto é o ponto em que u = 1 e v = 2 . Assim,

N → = - 2.1 . 2 2 , - 2.1 2 . 2,1 = ( - 8 , - 4,1 )

Passo 3

Tendo o nosso vetor normal, podemos agora encontrar a parametrização da reta normal à superfície. Para isso vamos usar aquele conceito escrito no passo 1.

P 0 = 1,2 , 4

N → = - 8 , - 4,1

x t = 1 - 8 t

y t = 2 - 4 t

z t = 4 + t

r t = 1 - 8 t , 2 - 4 t , 4 + t

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos calcular o produto escalar escrito no primeiro passo:

N → ⋅ x - x 0 , y - y 0 , z - z 0 = 0

P 0 = 1,2 , 4

N → = - 8 , - 4,1

- 8 , - 4,1 ⋅ x - 1 , y - 2 , z - 4 = 0

- 8 x + 8 + - 4 y + 8 + z - 4 = 0

- 8 x - 4 y + z = - 12

Resposta

R e t a   N o r m a l → r t = 1 - 8 t , 2 - 4 t , 4 + t

P l a n o →   - 8 x - 4 y + z = - 12

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre a parametrização da reta normal e o plano tangente à superfície parametrizada por φ t , z = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , z ) no ponto em que t = π / 4 e z = 3

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Passo 1

Parametrização da reta normal e plano tangente, quando lemos isso já tem que vir na nossa cabeça que precisamos encontrar o vetor normal N → no ponto dado.

N → = ∂ φ ∂ t × ∂ φ ∂ z

Nessa questão a nossa parametrização não é explicita, vamos precisar usar essa fórmula de cima mesmo. Além disso, não temos o ponto P 0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , temos o valor dos parâmetros nesse ponto, certo? Não tem problema, só precisamos substituir t = π 4 e z = 3 na parametrização da superfície!

Então pronto, depois que acharmos N → e P 0 conseguimos calcular a parametrização da reta normal e a equação do plano tangente! Vamos lá?

Passo 2

Vamos começar pelo vetor normal, precisamos derivar a nossa parametrização da superfície em relação aos seus dois parâmetros. Fica assim:

∂ φ ∂ t = - 2 sen ⁡ t , 2 cos ⁡ t ,   0

∂ φ ∂ z = 0,0 , 1

Nosso vetor normal vai ser:

N → = i j k - 2 sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 0 0 0 1

= i j k - 2 sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 0 0 0 1 i j - 2 sen ⁡ t 2 cos ⁡ t 0 0

= 2 cos ⁡ t i - - 2 sen ⁡ t j

Se não temos termo em k , quer dizer que a coordenada do vetor N → no eixo z é igual a zero! Portanto:

N → = ( 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t , 0 )

Esse é o vetor normal em qualquer ponto, né? Precisamos do valor dele no ponto em que

t = π 4

z = 3

Substituindo esses valores:

N → = 2 2 2 , 2 2 2 , 0