Integral de Superfície - Campo Escalar

Teoria Completa

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Hoje vamos bater um papo sobre as integrais de superfície em um campo escalar, preparado? Então bora!!

Conhecimentos Prévios

Bom, antes de você embarcar nessa aventura das integrais de superfície de um campo escalar é interessante você já ter alguns conhecimentos adquiridos. Eu vou deixar eles aqui embaixo listados👇🏾

Produto Vetorial

Parametrização de superfícies - caso explícito

Parametrização de superfícies - caso avançado

Integrais Duplas

O que é Integral de Superfície?

Uma integral de superfície segue um princípio semelhante ao das integrais duplas. Nas integrais duplas nós pegamos uma função $f(x,y)$ e integramos ela em um interval de $x$ e em um intervalo de $y$. No caso das integrais de superfície nós vamos estar interessados em pegar uma função e integrar ela em uma superfície no plano $xy$ e não mais em um intervalo, sacou?

No caso das integrais de superfície nós não teremos uma função $f(x,y)$ de duas variáveis, teremos uma função $f(x,y,z)$, ou seja, uma função de $3$ variáveis.

Representamos uma integral de superfície do seguinte modo:

Onde $S$ é a superfície sobre a qual vamos integrar e $dS$ é o elemento infinitesimal, assim como temos o $dx~dy$ na integral dupla.

Como calcular uma Integral de Superfície?

Para calcular uma integral dupla nós vamos usar a seguinte fórmula:

Entendeu nada, né? hahaha. Calma, vamos devagar.

Primeiro vamos entender o que é cada coisa na fómula: $φ(u,v)$ é a parametrização da superfície; $u$ e $v$ são as variáveis que aparecem na parametrização, $f(φ(u,v))$ é a função integrando escrita nas variáveis da parametrização e $D$ é o domínio de $S$.

Ainda está meio confuso, não é? Vamos de exemplo para enterder melhor, ok?

Exemplo

Considere a susperfície $S$ do parabolóide $z=x^2+y^2$ contida no interior do cilindro $x^2+y^2≤4$ e a função $h(x,y,z)=x^2+y^2$. Calcule:

Vamos ir montando juntos um passo a passo para resolução desse problema.

PASSO 1: Parametrizar a superfície $S$.

Como a superfície está na sua forma explícita, vamos parametrizá-la como:

PASSO 2: Achar o domínio de $S$.

Para achar o domínio $D$ de $S$ vamos ver se há alguma outra superfície limitando a nossa superfície $S$. No nosso problema queremos considerar a parte do paabolóide que está delimitada pelo cilindro, então o cilindro será o domínio de $S$:

PASSO 3: Calcular as derivadas parciais da função em relação a $x$ e $y$.

PASSO 4: Escrever a função em termos das variaveis de parametrização.

Nesse caso, como a nossa parametrização foi explícita e as variáveis de parametrização continuam sendo $x$ e $y$ a nossa função não vai mudar.

Mas fica atento, porque se a parametrização não for explícita a função muda um pouco quando a escrevemos em termos das variáveis de parametização, beleza?

PASSO 5: Montar a integral.

Vamos pegar a fórmula:

Reescrever em termos de $h$, que é a nossa função e de $x$ e $y$ que são as nossas variáveis da parametrização:

Agora vamos substituir tudo que encontramos até o momento:

Onde $D={(x,y)|x^2+y^2≤4}$

E agora vamos resolver a integral como resolveríamos uma integral dupla. Nesse caso seria legal usar uma mudança polar (fica a dica 😉).

E é isso que temos para falar pra você sobre as integrais de superfície em um campo escalar. Você pode avançar nos seus estudos e ir entender as integrais de superície em um campo vetorial, conferindo essa nossa página aqui: Integrais de superfície - caso vetorial.

Mas, caso você ainda não esteja seguro para avançar, você pode assistir o vídeo que eu vou deixar aqui em embaixo 👇🏾 sobre integrais de superfície em campo escalar para fixar ainda mais esse conteúdo.

Vídeo

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Exercício Resolvido #1

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1153 - 15

Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando σ no

  1. Plano x y
  2. Plano x z  
  3. Plano y z

∬ σ x y z d S

Onde σ é a porção do plano 2 x + 3 y + 4 z = 12 no primeiro octante.

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Passo 1

a) Calma, é muita informação! Vamos organizar as informações e ver o que ele quer na questão! Primeiro vamos entender a superfície σ , que é um plano no primeiro octante.

Para desenhar um plano é interessante ver a interseção dele com cada eixo e ligar os pontos:

Para x = 0 e y = 0 →   z = 3

Para x = 0 e z = 0 →   y = 4

Para z = 0 e y = 0 →   x = 6

Assim a imagem do plano é:

Passo 2

Primeiro vamos fazer a integral projetada no plano x y , assim, devemos ter somente x   e y   variando. Então, devemos substituir z = f ( x , y ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

z = f x , y =   12 - 2 x - 3 y 4

Mas quando formos achar a integral iterada à integral de superfície dada projetada em σ , precisaremos multiplicar o módulo do vetor normal a superfície N →   . Deste modo, vamos fazer a parametrização explicita.

Podemos então fazer a parametrização explícita como abaixo

φ x , y = x , y , 12 - 2 x - 3 y 4 ,   x , y ∈ D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N → | | =   1 + ∂ f ∂ x 2 + ∂ f ∂ y 2

Como,

∂ f ∂ x = ∂ ( 12 - 2 x - 3 y 4 ) ∂ x = - 2 4  

∂ f ∂ y = ∂ ( 12 - 2 x - 3 y 4 ) ∂ y = - 3 4

Temos que:

N → ( x , y ) =   1 + - 2 4 2 + - 3 4 2 =   29 4

Agora podemos montar a integral não esquecendo de multiplicar N → ( x , y ) . Assim a integral fica,

∬ D x y   12 - 2 x - 3 y 4 29 4   d x d y

Passo 3

Vamos fazer o mesmo para as outras duas integrais. No plano x z vamos fazer somente x   e z   variando, assim, devemos encontrar y = h ( x , z ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

y = h x , z =   12 - 2 x - 4 z 3

A parametrização explícita é dada por

φ x , z = x , 12 - 2 x - 4 z 3 , z ,   x , z ∈ D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N → | | =   1 + ∂ h ∂ x 2 + ∂ h ∂ z 2

Como,

∂ h ∂ x = ∂ ( 12 - 2 x - 4 z 3 ) ∂ x = - 2 3  

∂ h ∂ z = ∂ ( 12 - 2 x - 4 z 3 ) ∂ z = - 4 3

Temos que:

N → ( x , z ) =   1 + - 2 3 2 + - 4 3 2 =   29 3

Assim a integral fica:

∬ D x z   12 - 2 x - 4 z 3 29 3     d x d z

Passo 4

Para a última integral. No plano y z vamos fazer somente y   e z   variando, assim, devemos encontrar x = g ( y , z ) e substituir na integral, logo:

2 x + 3 y + 4 z = 12

x = g y , z = 12 - 3 y - 4 z 2

A parametrização explícita é dada por

φ y , z = 12 - 3 y - 4 z 2 , y , z ,   x , z ∈ D

Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:

| | N → | | =   1 + ∂ g ∂ y 2 + ∂ g ∂ z 2

Como,

∂ g ∂ y = ∂ ( 12 - 3 y - 4 z 2 ) ∂ y = - 3 2

∂ g ∂ z = ∂ ( 12 - 3 y - 4 z 2 ) ∂ z = - 4 2

N → y ,   z   =   1 + - 3 2 2 + - 4 2 2 = 29 2

Assim a integral fica:

∬ σ y z   12 - 3 y - 4 z 2 29 2 d y d z

Passo 5

O próximo passo é encontrar o limites de integração para cada integral. Ou seja, precisamos descobrir o domínio D . Mas antes de começar, vamos relembrar aquelas três contas que fizemos para montar o gráfico no Passo 1:

Para x = 0 e y = 0 →   z = 3

Para x = 0 e z = 0 →   y = 4

Para z = 0 e y = 0 →   x = 6

No plano x y , temos que o valor de z   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de x = x 0 , vamos avaliar a variação de y :

2 x 0 + 3 y = 12

y = 12 - 2 x 0 3

Como estamos tratando do primeiro octante, y não pode ser negativo, variando de

0 ≤ y ≤ 12 - 2 x 3

Olhando para equações, podemos ver que o valor máximo que x pode ter é 6 . Ou seja,

0 ≤ x ≤ 6

Colocando os limites de integração na integral temos,

29 16   ∫ 0 6 ∫ 0 ( 12 - 2 x ) / 3   x y 12 - 2 x - 3 y d y d x

No plano x z , vamos seguir o mesmo raciocínio. Só que agora temos que o valor de y   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de z = z 0 , vamos avaliar a variação de x :

2 x + 4 z 0 = 12

x = 12 - 4 z 0 2 = 6 - 2 z 0

Assim,

0 ≤ x ≤ 6 - 2 z

0 ≤ z ≤ 3

Colocando os limites de integração na integral temos,

29 9   ∫ 0 3 ∫ 0 6 - 2 z   x z 12 - 2 x - 4 z d x d z

Por fim, no plano y z , temos que o valor de x   é igual a zero. Logo, para um valor fixo de y = y 0 , vamos avaliar a variação de z :

3 y 0 + 4 z = 12

z = 12 - 3 y 0 4

Assim,

0 ≤ z ≤ 12 - 3 y 4

0 ≤ y ≤ 4

Colocando os limites de integração na integral temos,

29 4   ∫ 0 4 ∫ 0 ( 12 - 3 y ) / 4   y z 12 - 4 z - 3 y d z d y

Resposta

Assim temos que as integrais são:

29 16   ∫ 0 6 ∫ 0 ( 12 - 2 x ) / 3   x y 12 - 2 x - 3 y d y d x

29 9   ∫ 0 3 ∫ 0 6 - 2 z   x z 12 - 2 x - 4 z d x d z

29 4   ∫ 0 4 ∫ 0 ( 12 - 3 y ) / 4   y z 12 - 4 z - 3 y d z d y

Exercício Resolvido #2

Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1154 – 20 - modificado

Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada

∬ σ x 2 y d S

Onde σ é a porção do cilindro x 2 + y 2 = 9 2 no primeiro octante entre os planos x = 0 , x = 9 , z = y e z = 2 y

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Passo 1

O primeiro passo é parametrizar a superfície σ !

Vamos dar uma olhada como é essa superfície e depois parametriza-la.

Primeiro, temos um cilindro circular. Esse círculo tem raio 9 , então vamos ter

Mas ele disse que é limitado pelo plano x = 0 e x = 9 , então vamos ter que x vai de 0 à 9 só.

Então só vamos pegar a parte do cilindro nessa faixa, que vai ficar

Ele também disse que vai ser limitado pelo planos z = y e z = 2 y , vamos desenhar esses planos aqui

Então a nossa superfície vai ser o cilindro vermelho limitado entre esses planos azuis.

Passo 2

Vamos para a parametrização desse cilindro

Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:

x = r cos ⁡ θ

y = r   sen θ

Aplicando na equação do cilindro:

r cos ⁡ θ 2 + r   sen θ 2 = 9 2

r 2 = 9 2 → r = 9

Portanto, o parâmetro r sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização ϕ é:

ϕ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , z θ , v

Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer v . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o z sendo o próprio parâmetro v :

z = v

Logo:

ϕ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , v

E está parametrizado.

Passo 3

Agora precisamos dos limites desses parâmetros.

O enunciado nos fala que ele quer “a parte do cilindro no primeiro octante”, certo? Isso nos dá o intervalo de θ

θ ∈ 0 , π 2

Passo 4

Agora precisamos achar o intervalo de v .

Repara que z = v , então o v vai estar limitado pelos planos z = y e z = 2 y , ou seja,

z ∈ y , 2 y

Mas como z = v :

y ≤ v ≤ 2 y

Só que y = 9 sen ⁡ θ , então temos que:

9 sen ⁡ θ ≤ v ≤ 18 sen ⁡ θ

E agora temos os dois limites da nossa parametrização, ela vai ser

φ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , v

Com

θ ∈ 0 , π 2

v ∈ 9 sen ⁡ θ , 18 sen ⁡ θ

Passo 5

Agora que temos a parametrização, precisamos fazer a nossa integral de superfície.

Para isso precisamos achar o vetor normal n → , para depois pegar o módulo dele.

Lembra como faz?

Vamos fazer o nosso produto vetorial

n → = ∂ φ ∂ θ × ∂ φ ∂ v

Vamos achar essas derivadas parciais primeiro, lembrando que nossa parametrização é φ θ , v = 9 cos ⁡ θ ,   9 sen θ , v

Então nossas derivadas parciais são:

∂ φ ∂ θ = - 9 sen ⁡ θ , 9 cos ⁡ θ , 0

E

∂ φ ∂ v = 0,0 , 1

Então nosso vetor normal vai ser:

n → = i j k - 9 sen ⁡ θ 9 cos ⁡ θ 0 0 0 1

n → = 9 cos ⁡ θ i ^ + 9 sen ⁡ θ j ^

Passo 6

O módulo disso vai ficar

n → = 9 cos ⁡ θ 2 + 9 sen ⁡ θ 2 = 81 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ = 81   = 9

Passo 7

A nossa integral vai ser

∬ σ x 2 y d S

Vamos trocar x e y pelos seus valores da parametrização

Vamos ter

∫ 0 π 2 ∫ 9 sen ⁡ θ 18 sen ⁡ θ 9 cos ⁡ θ 2 ⏟ x 2 9 sen ⁡ θ ⏟ y . 9 d v d θ ⏟ d S

6561 ∫ 0 π 2 ∫ 9 sen ⁡ θ 18 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d v d θ

Como a questão não pede pra gente resolver a integral, a resposta é isso aí =D

Resposta

6561 ∫ 0 π 2 ∫ 9 sen ⁡ θ 18 sen ⁡ θ cos 2 ⁡ θ sen ⁡ θ d v d θ

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 261-4b.

Calcule a área da superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 situada entre os planos z = 0 e x + 2 z = 3 .

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Passo 1

Começamos com a parametrização da superfície em questão. Como se trata de um cone, é razoável utilizar coordenadas esféricas ou cilíndricas. Entretanto, uma coisa que devemos sempre prestar atenção é nas equações das superfícies que limitam a que queremos descobrir a área.

Como se tratam de planos, não é adequada nenhuma parametrização que envolva funções trigonométricas (i.e. cilíndrica e esférica). Portanto, a melhor parametrização que conseguimos obter é a explícita...

Encontrando z em função de x e y