Teoria Completa
Finalmente veremos como realizar o cálculo de áreas! Para isso é bom ter o conceito de parametrização de superfícies bem fresco, outro conceito que usamos bastante em integral de superfícies é o de integrais múltiplas!
Revisão – Produto Vetorial
Antes de começar a estudar a integral de superfície para funções escalares, vamos relembrar como encontramos o produto vetorial entre dois vetores!
Sejam dois vetores: e , o produto vetorial será:
Resolvendo o determinante, onde as setas azuis indicam os produtos positivos e as vermelhas os produtos negativos, temos:
Agora que já relembramos como se calcula um produto vetorial vamos entender integral de superfície, prometo que você vai precisar usar esse produto vetorial.
Área
Considere uma superfície parametrizada por , onde , sua área é dada por:
O que é o mesmo que:
Ou seja, a integral dupla do módulo do vetor normal à superfície no domínio da sua parametrização. Oi???
Dedução
Calma, vamos, agora, entender melhor essa fórmula. Imagine que dividimos o domínio de uma superfície regular em vários sub-retângulos . Para cada um desses retângulos do domínio, temos subáreas correspondentes na superfície, retalhos :
Vamos escolher como o vértice esquerdo inferior do retalho e aproximar a área a partir desse ponto de uma forma parecida com o que fizemos em integrais duplas. Vemos pela figura, que os dois lados do retalho que partem desse ponto que escolhemos podem ser aproximados pelos seguintes vetores:
Esses vetores, por sua vez, podem ser aproximados por vetores tangentes à superficie no ponto que escolhemos, dados por e . Vamos representá-los:
Nosso objetivo será, então, aproximar a área azul (da superfície) pela área em cinza, formada pelos vetores e . Você já deve ter aprendido que o módulo do produto vetorial entre dois vetores nos dá a área entre eles, certo? Assim, vamos aproximar por
Mas é apenas um retalho da nossa superfície, o que queremos é , o somatório de de cada retalho. Podemos aproximar, então:
Isso é uma aproximação, não uma igualdade! Porém, da mesma forma que vimos nas integrais simples, duplas e triplas, nossa intuição nos diz que, se fizermos as divisões e do domínio tender ao infinito, essa Soma de Riemann torna-se uma integral. Temos, então:
Essa integral nos dá, portanto, a área da superfície parametrizada por . Decora isso aí! Vamos usar bastante. Beleza?
Módulo do vetor normal
Ok, já vimos como parametrizar superfícies, calcular o vetor normal a superfície e como resolver integrais duplas! Mas como calcular o módulo do vetor normal?
Relaxa, você já sabe a parte mais difícil! Calcular o módulo do vetor normal é como calcular o módulo de um vetor numérico, veja:
Seja o vetor , temos que o seu módulo é dado por:
Pronto, agora é só fazer exercícios e vai conseguir calcular áreas de superfícies!
Caso particular: Vimos no tipo anterior que quando temos uma superfície parametrizada explicitamente existe uma forma mais simples de escrever o vetor normal, agora vamos usar isso para encontrar de forma mais simples a sua área!
Se você encontrar uma superfície na sua expressão explícita , pode parametrizá-la pela seguinte forma:
Nesses casos, temos
Assim, a área da superfície será dada por
Essa fórmula pronta é só para facilitar as contas. Se você não se lembrar dela vai fazendo o passo a passo aqui comigo que você chega lá!
Exemplo: Calcule a área de uma esfera de raio .
Passo 1: Parametrizar a superfície
Como se trata de uma esfera, vamos usar coordenadas esféricas , e . Como , temos:
Com e
Passo 2: Calcular e
Passo 3: Calcular
Agora vamos calcular o módulo com a fórmula que te mostrei lá em cima
Passo 4: Montar a integral
Esses intervalos são os que encontramos no primeiro passo, quando parametrizamos a superfície.
Passo 5: Resolver a integral
Integral de Superfície – função escalar
Vamos definir aqui o que é integral de superfície, a integral de superfície de uma função é bem semelhante ao cálculo de áreas. Vamos entender isso melhor!
Acabamos de ver como calcular a área de uma superfície, agora vamos imaginar que nossa superfície tem uma densidade superficial . Então se quiser calcular a massa da superfície teria que fazer:
Onde é um pedacinho de superfície, um infinitesimal de superfície. Certo? Integrando dos dois lados em :
Isso pode ser escrito de uma forma mais geral para qualquer função da seguinte forma:
Essa é a integral de superfície da função . Aquele termo não é para te assustar não. Ele só significa que vamos ter que colocar as expressões da parametrização na função, você vai ver isso daqui a pouco. Pode ficar tranquilo
Perceba que, quando temos , temos:
Exatamente a definição que vimos para área de superfície, lembra?
Agora vamos ver um exemplo, para você entender melhor!
Exemplo: Considere a superfície do paraboloide contida no interior do cilindro e a função . Calcule .
Passo 1: Parametrizar
Como a superfície está na sua forma explicita, vamos parametrizá-la como
e utilizar a fórmula que acabamos de ver para calcular a integral. Como temos o cilindro limitando o domínio de
Passo 2: Calcular e
Você também pode usar a fórmula geral aqui, sem problemas. Talvez isso dê um pouco de trabalho apenas, já sabemos que .
Passo 3: Montar a integral
Agora vamos entender o que é . Lembra lá na integral de linha? A gente substituía o da função pelo da parametrização e mesma coisa para as outras variáveis. Aqui faremos isso também.
Para esse caso específico a função não vai mudar. Então vamos jogar na fórmula
Substituindo os valores que temos:
Onde
Agora a gente resolve essa integral como resolvíamos as integrais duplas. Nesse caso seria legal usar uma mudança polar (fica a dica).
Show? O raciocínio que você vai seguir vai ser sempre basicamente o mesmo, a parte mais chata talvez seja parametrizar as superfícies, mas isso você pega na prática. Vamos para os exercícios agora!
Exercício Resolvido #1
Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando no
- Plano
- Plano
- Plano
Onde é a porção do plano no primeiro octante.
Passo 1
a) Calma, é muita informação! Vamos organizar as informações e ver o que ele quer na questão! Primeiro vamos entender a superfície , que é um plano no primeiro octante.
Para desenhar um plano é interessante ver a interseção dele com cada eixo e ligar os pontos:
Para e
Para e
Para z e
Assim a imagem do plano é:
Passo 2
Primeiro vamos fazer a integral projetada no plano , assim, devemos ter somente e variando. Então, devemos substituir e substituir na integral, logo:
Mas quando formos achar a integral iterada à integral de superfície dada projetada em , precisaremos multiplicar o módulo do vetor normal a superfície . Deste modo, vamos fazer a parametrização explicita.
Podemos então fazer a parametrização explícita como abaixo
Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:
Como,
Temos que:
Agora podemos montar a integral não esquecendo de multiplicar . Assim a integral fica,
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para as outras duas integrais. No plano vamos fazer somente e variando, assim, devemos encontrar e substituir na integral, logo:
A parametrização explícita é dada por
Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:
Como,
Temos que:
Assim a integral fica:
Passo 4
Para a última integral. No plano vamos fazer somente e variando, assim, devemos encontrar e substituir na integral, logo:
A parametrização explícita é dada por
Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:
Como,
Assim a integral fica:
Passo 5
O próximo passo é encontrar o limites de integração para cada integral. Ou seja, precisamos descobrir o domínio . Mas antes de começar, vamos relembrar aquelas três contas que fizemos para montar o gráfico no Passo 1:
Para e
Para e
Para z e
No plano , temos que o valor de é igual a zero. Logo, para um valor fixo de , vamos avaliar a variação de :
Como estamos tratando do primeiro octante, não pode ser negativo, variando de
Olhando para equações, podemos ver que o valor máximo que pode ter é . Ou seja,
Colocando os limites de integração na integral temos,
No plano , vamos seguir o mesmo raciocínio. Só que agora temos que o valor de é igual a zero. Logo, para um valor fixo de , vamos avaliar a variação de :
Assim,
Colocando os limites de integração na integral temos,
Por fim, no plano , temos que o valor de é igual a zero. Logo, para um valor fixo de , vamos avaliar a variação de :
Assim,
Colocando os limites de integração na integral temos,
Resposta
Assim temos que as integrais são:
Exercício Resolvido #2
Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada
Onde é a porção do cilindro no primeiro octante entre os planos , ,