Integral de Superfície - Campo Escalar
Teoria
Fala aí, nós somos o Responde Aí, a maior plataforma de exatas do Brasil e estamos aqui pra salvar o seu semestre hahaha
Hoje vamos bater um papo sobre as integrais de superfície em um campo escalar, preparado? Então bora!!
Conhecimentos Prévios
Bom, antes de você embarcar nessa aventura das integrais de superfície de um campo escalar é interessante você já ter alguns conhecimentos adquiridos. Eu vou deixar eles aqui embaixo listados👇🏾
✅ Parametrização de superfícies - caso explícito
O que é Integral de Superfície?
Uma integral de superfície segue um princípio semelhante ao das integrais duplas. Nas integrais duplas nós pegamos uma função
No caso das integrais de superfície nós não teremos uma função
Representamos uma integral de superfície do seguinte modo:

Onde
Como calcular uma Integral de Superfície?
Para calcular uma integral dupla nós vamos usar a seguinte fórmula:

Entendeu nada, né? hahaha. Calma, vamos devagar.
Primeiro vamos entender o que é cada coisa na fómula:
Ainda está meio confuso, não é? Vamos de exemplo para enterder melhor, ok?
Exemplo
Considere a susperfície

Vamos ir montando juntos um passo a passo para resolução desse problema.
PASSO 1: Parametrizar a superfície
Como a superfície está na sua forma explícita, vamos parametrizá-la como:

PASSO 2: Achar o domínio de
Para achar o domínio

PASSO 3: Calcular as derivadas parciais da função em relação a

PASSO 4: Escrever a função em termos das variaveis de parametrização.
Nesse caso, como a nossa parametrização foi explícita e as variáveis de parametrização continuam sendo

Mas fica atento, porque se a parametrização não for explícita a função muda um pouco quando a escrevemos em termos das variáveis de parametização, beleza?
PASSO 5: Montar a integral.
Vamos pegar a fórmula:

Reescrever em termos de

Agora vamos substituir tudo que encontramos até o momento:


Onde
E agora vamos resolver a integral como resolveríamos uma integral dupla. Nesse caso seria legal usar uma mudança polar (fica a dica 😉).
E é isso que temos para falar pra você sobre as integrais de superfície em um campo escalar. Você pode avançar nos seus estudos e ir entender as integrais de superície em um campo vetorial, conferindo essa nossa página aqui: Integrais de superfície - caso vetorial.
Mas, caso você ainda não esteja seguro para avançar, você pode assistir o vídeo que eu vou deixar aqui em embaixo 👇🏾 sobre integrais de superfície em campo escalar para fixar ainda mais esse conteúdo.
Vídeo
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O que é Integral de Superfície?
Como calcular uma Integral de Superfície?
Vídeo
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1153 - 15
Monte, mas não calcule, uma integral iterada à integral de superfície dada projetando no
- Plano
- Plano
- Plano
Onde é a porção do plano no primeiro octante.
Passo 1
a) Calma, é muita informação! Vamos organizar as informações e ver o que ele quer na questão! Primeiro vamos entender a superfície , que é um plano no primeiro octante.
Para desenhar um plano é interessante ver a interseção dele com cada eixo e ligar os pontos:
Para e
Para e
Para z e
Assim a imagem do plano é:
Passo 2
Primeiro vamos fazer a integral projetada no plano , assim, devemos ter somente e variando. Então, devemos substituir e substituir na integral, logo:
Mas quando formos achar a integral iterada à integral de superfície dada projetada em , precisaremos multiplicar o módulo do vetor normal a superfície . Deste modo, vamos fazer a parametrização explicita.
Podemos então fazer a parametrização explícita como abaixo
Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:
Como,
Temos que:
Agora podemos montar a integral não esquecendo de multiplicar . Assim a integral fica,
Passo 3
Vamos fazer o mesmo para as outras duas integrais. No plano vamos fazer somente e variando, assim, devemos encontrar e substituir na integral, logo:
A parametrização explícita é dada por
Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:
Como,
Temos que:
Assim a integral fica:
Passo 4
Para a última integral. No plano vamos fazer somente e variando, assim, devemos encontrar e substituir na integral, logo:
A parametrização explícita é dada por
Como o módulo da normal para a parametrização explícita é:
Como,
Assim a integral fica:
Passo 5
O próximo passo é encontrar o limites de integração para cada integral. Ou seja, precisamos descobrir o domínio . Mas antes de começar, vamos relembrar aquelas três contas que fizemos para montar o gráfico no Passo 1:
Para e
Para e
Para z e
No plano , temos que o valor de é igual a zero. Logo, para um valor fixo de , vamos avaliar a variação de :
Como estamos tratando do primeiro octante, não pode ser negativo, variando de
Olhando para equações, podemos ver que o valor máximo que pode ter é . Ou seja,
Colocando os limites de integração na integral temos,
No plano , vamos seguir o mesmo raciocínio. Só que agora temos que o valor de é igual a zero. Logo, para um valor fixo de , vamos avaliar a variação de :
Assim,
Colocando os limites de integração na integral temos,
Por fim, no plano , temos que o valor de é igual a zero. Logo, para um valor fixo de , vamos avaliar a variação de :
Assim,
Colocando os limites de integração na integral temos,
Resposta
Assim temos que as integrais são:
Exercício Resolvido #2
Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2007, pp. 1154 – 20 - modificado
Monte, mas não calcule, uma integral iterada igual à integral dada
Onde é a porção do cilindro no primeiro octante entre os planos , , e
Passo 1
O primeiro passo é parametrizar a superfície !
Vamos dar uma olhada como é essa superfície e depois parametriza-la.
Primeiro, temos um cilindro circular. Esse círculo tem raio , então vamos ter
Mas ele disse que é limitado pelo plano e , então vamos ter que vai de à só.
Então só vamos pegar a parte do cilindro nessa faixa, que vai ficar
Ele também disse que vai ser limitado pelo planos e , vamos desenhar esses planos aqui
Então a nossa superfície vai ser o cilindro vermelho limitado entre esses planos azuis.
Passo 2
Vamos para a parametrização desse cilindro
Podemos parametrizar a superfície com coordenadas cilíndricas. Segue que:
Aplicando na equação do cilindro:
Portanto, o parâmetro sumiu. Até agora temos que a nossa parametrização é:
Ou seja, como é uma superfície precisamos necessariamente de dois parâmetros. Como um deles sumiu, inventamos um outro qualquer . Como se trata de um cilindro, podemos deixar o sendo o próprio parâmetro :
Logo:
E está parametrizado.
Passo 3
Agora precisamos dos limites desses parâmetros.
O enunciado nos fala que ele quer “a parte do cilindro no primeiro octante”, certo? Isso nos dá o intervalo de
Passo 4
Agora precisamos achar o intervalo de .
Repara que , então o vai estar limitado pelos planos e , ou seja,
Mas como :
Só que , então temos que:
E agora temos os dois limites da nossa parametrização, ela vai ser
Com
Passo 5
Agora que temos a parametrização, precisamos fazer a nossa integral de superfície.
Para isso precisamos achar o vetor normal , para depois pegar o módulo dele.
Lembra como faz?
Vamos fazer o nosso produto vetorial
Vamos achar essas derivadas parciais primeiro, lembrando que nossa parametrização é
Então nossas derivadas parciais são:
E
Então nosso vetor normal vai ser:
Passo 6
O módulo disso vai ficar
Passo 7
A nossa integral vai ser
Vamos trocar e pelos seus valores da parametrização
Vamos ter
Como a questão não pede pra gente resolver a integral, a resposta é isso aí =D
Resposta
Exercício Resolvido #3
Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp. 261-4b.
Calcule a área da superfície do cone situada entre os planos e .
Passo 1
Começamos com a parametrização da superfície em questão. Como se trata de um cone, é razoável utilizar coordenadas esféricas ou cilíndricas. Entretanto, uma coisa que devemos sempre prestar atenção é nas equações das superfícies que limitam a que queremos descobrir a área.
Como se tratam de planos, não é adequada nenhuma parametrização que envolva funções trigonométricas (i.e. cilíndrica e esférica). Portanto, a melhor parametrização que conseguimos obter é a explícita...
Encontrando em função de e obtemos:
Podemos perceber que são duas parametrizações possíveis. Afinal de contas o cone tem uma parte superior e uma inferior. Como estamos integrando entre e um outro plano, podemos observar pelos cortes desses planos que só precisamos parametrizar a parte superior do cone.
Se você não tiver a intuição de qual corte fazer, tente todos os três possíveis: , , . Basta em cada um igualar uma das variáveis à uma constante (geralmente zero).
No plano , que é o plano , temos essa revelação. Neste plano o corte do cone é:
Representado em laranja. Ao passo que o corte do plano:
É representado em azul.
Portanto:
Passo 2
Vamos determinar agora as limitações da superfície em termos da nossa parametrização:
Agora vamos ver como é que o outro plano encontra com o nosso cone:
Substituindo na equação do cone:
Completando o quadrado perfeito:
Como chegamos à esse negócio mesmo? Ah sim, nós igualamos a equação do plano à do cone. Então nós conseguimos encontrar a equação dos pontos que pertencem tanto à um quanto ao outro. Por consequência, a região dos pontos do cone que estão entre um plano e outro é dos pontos que estão no interior desta elipse:
Ou seja, nossa parametrização é:
Ao passo que nosso domínio é:
Dá pra ver que não vai dar muito certo fazer essa conta aí por causa do domínio... Mais tarde voltaremos nisso.
Passo 3
Para aplicar a fórmula da área precisamos do módulo do vetor normal:
Calculando as derivadas parciais:
Fazendo o produto vetorial:
E calculamos o módulo: