Alterações na Mudança de Variável

Teoria Completa

Deslocamentos nas mudanças

Galera, imaginem que a nossa região de integração é essa esfera aqui embaixo:

x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1

Primeiro, vamos tentar a substituição esférica normal:

x = ρ   s e n   φ   c o s   ,     y = ρ   s e n   φ   s e n   θ ,     z = ρ cos ⁡ φ

Levando isso para a esfera:

ρ   s e n   φ   c o s   θ - 1 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ - 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ - 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ 2 = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ → ρ = 2   s e n   φ   c o s   θ

Meio chata essa expressão, não é? Agora vamos tentar fazer essa substituição aqui:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 ,     y = ρ   s e n   φ   s e n   θ ,     z = ρ cos ⁡ φ

Olha o que acontece:

ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 - 1 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1 → ρ = 1

Viu que a esfera voltou a ser uma expressão bonitinha? O que a gente fez foi mudar o centro das coordenadas esféricas para o centro da esfera ( 1,0 , 0 ) . Assim, a distância dos pontos da esfera à (nova) origem passa a ser constante e a expressão dela passa a ser ρ = r a i o .

Mas como a gente fez isso? Somando as coordenadas do centro da esfera nas variáveis da mudança esférica. Basicamente, você tem que somar números a x ,   y e z que cancelem as constantes “soltas” nos termos quadráticos da equação. Resumindo, é o seguinte:

Para uma esfera do tipo

x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = r a i o 2

Geralmente, faremos a mudança

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ + a

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ + b

z = ρ cos ⁡ φ + c

A esfera vai passar a ser escrita como ρ = r a i o . Pode fazer essa mudança para conferir.

Beleza, mas e o jacobiano? O que acontece com ele?

Lembra que o jacobiano é calculado por derivadas parciais dos termos da mudança? Bom, a derivada de uma constante não é zero? Então todos esses termos a ,   b e c vão desaparecer! Portanto: sempre que somamos ou substraímos constantes em uma mudança de variáveis o seu jacobiano não se altera. Logo:

J = ρ 2 s e n φ

Bom, já que falamos de coordenadas esféricas, vamos falar das coordenadas cilíndricas também. Seguindo o mesmo raciocínio, quando encontramos um cilindro deslocado da origem do tipo:

x - a 2 + y - b 2 = r a i o 2

Nós podemos fazer a mudança cilíndrica:

x = r cos ⁡ θ + a

y = r   s e n   θ + b

z = z

J = r

Isso nos dá:

r cos ⁡ θ + a - a 2 + r   s e n   θ + b - b 2 = r a i o 2 → r = r a i o

O jacobiano não se altera, novamente! Dessa forma, a distância dos pontos do cilindro ao eixo z passa a ser constante e ele passa a ser descrito como r = r a i o .

Recapitulando: quando você encontrar regiões que pareçam perfeitas para a mudança esférica ou cillíndrica, porém não estejam centradas na origem, às vezes vale à pena fazer essas mudanças com centro deslocado. Mas muito cuidado: não é só porque você tem uma superfície deslocada que vai valer à pena fazer isso! Em geral, usamos esse artifício quando a região toda é centrada em algum eixo/ ponto.

Então, depois de fazer a mudança e encontrar os intervalos das variáveis, a questão vira qualquer outra questão de integrais triplas, não tem mistério!

Mudança de eixos

Aqui a gente vai ter uma situação desse tipo

Bom, já que é um cilindro, vamos usar coodenadas cilíndricas, certo:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z ,     J = r

Levando isso para e equação do cilindro:

y 2 + z 2 = 1

r   s e n   θ 2 + z 2 = 1

Agora, nas equações dos planos:

x = 1 = r cos ⁡ θ

x = 2 = r cos ⁡ θ

Nossa, ficou tudo horrível, né? Mas porque?

Isso aconteceu porque as coordenadas cilíndricas são definidas com simetria em relação ao eixo z , olha só:

Então, as superfícies que tem simetria nesse eixo tendem a ficar mais simples escritas nessas coordenadas. Mas, nosso cilindro do exemplo está “deitado” com simetria no eixo x , por isso não conseguimos agrupar termos na mudança e a expressão dele ficou zoada.

Ah, então não tem o que fazer? Não usamos essa mudança? Claro que não, nós só vamos usar uma mudança cilíndrica diferente.

Vamos criar uma mudança cilíndrica que tenha simetria em x ! Quando a simetria era em z , repare que a única coordenada que não se altera é essa:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

Então, a coordenada que não vai se alterar agora é a x : É como se o eixo x “virasse” o eixo z . Então vamos ter

y = r cos ⁡ θ ,     z = r   s e n   θ ,     x = x

Pronto, essa é nossa mudança! Isso é um macete para você não se perder. O jacobiano não muda:

J = r

Vamos tentar fazer essa nova mudança nas nossas superfícies então:

y 2 + z 2 = 1

r   c o s   θ 2 + r   s e n   θ 2 = 1

r 2 = 1 → r = 1

Agora, nas equações dos planos:

x = 1

x = 2

A região é definida então por 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π e 1 ≤ x ≤ 2 .

Muito mais simples, não?

Lembrando que, como definimos as coordenadas cilíndricas com simetria em x , o raio r é marcado a partir desse eixo e o ângulo θ é marcado ao redor dele (no plano y z ). É como se o x fosse o novo z !

Mudança com denominadores diferentes

Digamos que você precise calcular uma integral tripla no interior da região:

4 x 2 + y 2 = 1

Isso é um cilindro de seção elíptica:

Bom, já que é um cilindro, vamos tentar coordenadas cilíndricas, não é?

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,       z = z

Se você substituir na equação do cilindro vai ver que vai ficar horrível! Porque o cilindro não ficará r = r a i o bonitinho como estamos acostumados a ver. Porque isso? Porque ele não tem seção circular! Então, na mudança de variáveis os termos não vão se agrupar certinho, por causa daquele coeficiente 4 em x 2 .

E se a gente desse um jeito de sumir com esse coeficiente? Olha o que acontece quando fazemos essa substituição aqui:

x = 1 2 r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n θ ,     z = z

Levando para o cilindro:

4 1 2 r cos ⁡ θ 2 + ( r   s e n   θ ) 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 = 1 → r = 1

Viu que o 1 / 2 que adicionamos à mudança cancelou aquele coeficiente 4 ? Aí a expressão do cilindro ficou beem melhor. É como se a gente tivesse “transformado” sua seção em circular.

Mas e o que acontece com o Jacobiano da mudança? Esse coeficiente vai para ele:

J = 1 2 r

Esse tipo de mudança pode ser muito útil quando temos cilindros de seção elíptica, pois ele faz o raio passar a ser constante e simplifica muito as coisas! Claro que temos que fazer a mesma mudança em todas as superfícies que estiverem limitando a região. A partir daí, a questão vira uma questão qualquer de integral tripla.

Então, quando temos um cilindro do tipo:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Podemos pensar na mudança:

x = a   r cos ⁡ θ

y = b   r   s e n   θ

z = z

J = a b   r

Vamos ver um outro caso agora. Quando temos um elipsoide do tipo:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Isso se parece muito com uma esfera, não é? Porém se tentarmos a substituição esférica, vamos encontrar uma expressão meio zoada que nem aconteceu com o cilindro. Isso porque, novamente, o raio da superfície não é constante.

Mas se a gente fizer uma substituição do tipo:

x = a   ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = b   ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = c   ρ cos ⁡ φ

J = a b c   ρ 2 s e n φ

Os coeficientes do elipsoide vão “sumir” e vamos encontrar um ρ constante.

Isso porque esses coeficientes que acrescentamos à mudança esférica vão cancelar os coeficientes do elipsoide, “transformando” ele na esfera ρ = 1 . Lembrando que os coeficientes vão todos para o Jacobiano.

Show? Então, quando você encontrar um elipsoide pode pensar em fazer esse tipo de mudança esférica. O resto da questão fica o mesmo passo a passo de sempre!

Beleza? Vamos treinar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ - Cálculo 3 - P1 2013.1 – 4

Calcule o valor da integral

∭ D   ( x 2 + y 2 + z 2 )   d x d y d z

Onde D = { ( x , y , z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≤ x } .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado da expressão da superfície, temos:

x 2 - x + y 2 + z 2 = 0

x - 1 2 2 + y 2 + z 2 = 1 4

Uma esfera de raio 1 / 2 centrada em ( 1 / 2 ,   0 ,   0 ) , portanto, deslocada no eixo x .

Passo 2

Essa região de integração parece simples, não é? Sim, mas, quando fazemos a mudança para coordenadas esféricas , como temos feito até agora, a integral se torna uma expressão não muito agradável, envolvendo sen 6   e cos 5 ⁡   . Vamos, então, tentar contornar esse problema.

Uma esfera centrada na origem é escrita em coordenadas polares como ρ = ( raio ) , como já vimos. Essa esfera do problema, por estar deslocada, seria escrita como ρ = sen ⁡ φ cos ⁡ θ . Mas porque temos agora essa expressão bem mais complicada? Porque agora, não temos mais a simetria em relação à origem, pois a distância dos pontos da esfera ao ponto ( 0,0 , 0 ) não é mais constante.

Temos, então, duas saídas para tornar a região de integração mais simétrica em relação aos eixos coordenados.

Solução 1: Essa solução é a mais abrangente. Se você reparar, as coordenadas esféricas são definidas com uma certa simetria em relação ao eixo z . Como assim? O ângulo θ é medido em torno desse eixo e o ângulo φ , a partir desse eixo. Por isso, quando temos uma esfera deslocada em z , sua equação não fica tão complicada como quando está deslocada nos outros eixos.

Partindo dessa ideia, podemos, então, fazer uma mudança esférica diferente, atribuindo ( ρ cos ⁡ φ ) não ao eixo z , mas ao eixo de simetria da região, no caso, o eixo x . Teremos, então:

y = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ

z = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

x = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Dessa forma a esfera seria escrita como ρ = cos ⁡ φ . Essa solução seria muito útil se tivéssemos uma região mais complexa com simetria em x .

Solução 2: Provavelmente essa forma é a mais intuitiva, mais fácil de visualizar. A esfera não está centrada na origem? Leve a origem a ela então! Como assim? A esfera está deslocada em x , não é? Em vez de definirmos x = ρ   s e n   φ   c o s   θ , vamos definir   x - 1 / 2 = ρ   s e n   φ   c o s   θ , o que nos dá:

x = ρ   sen ⁡ φ cos ⁡ θ + 1 / 2

y = ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

É como se você tivesse levado a origem para o ponto ( 1 / 2 ,   0,0 ) . Veja que, substituindo esses valores na equação da esfera, temos:

x - 1 2 2 + y 2 + z 2 = 1 4   →   ρ   sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1 4

ρ = 1 / 2

Temos, agora, uma expressão muito mais simples para a esfera. Talvez você esteja se perguntando: o Jacobiano não muda? Não, porque quando adicionamos ou subtraímos uma constante na mudança de variáveis, a derivada desse termo é zero, logo, o Jacobiano não se altera!

Aqui, vamos optar por essa solução.

Passo 3

Utilizando essa substituição, a região de integração é escrita como:

D = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π ;   0 ≤ ρ ≤ 1 / 2 }

Exatamente como uma esfera centrada na origem.

Passo 4

Vamos agora escrever o termo x 2 + y 2 + z 2 em função das novas variáveis.

x 2 + y 2 + z 2 = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ + 1 2 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 =

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ   + ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ + 1 4 + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ =

= ρ 2 sen 2 ⁡ φ + ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ + 1 4 + ρ 2 cos 2 ⁡ φ   =

= ρ 2 + ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ + 1 4  

Montando agora a integral iterada, temos:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2   ρ 2 + ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ + 1 4   ρ 2 sen ⁡ φ d ρ   d θ   d φ =

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 ρ 4 sen ⁡ φ + ρ 3 sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ + ρ 2 sen ⁡ φ 4 d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π ∫ 0 2 π ρ 5 sen ⁡ φ 5 + ρ 4 4 sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ + ρ 3 sen ⁡ φ 12 ρ = 0 ρ = 1 / 2   d θ   d φ =

= ∫ 0 π ∫ 0 2 π sen ⁡ φ 5 × 32 + sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ 16 × 4   + sen ⁡ φ 12 × 8 d θ   d φ =

= ∫ 0 π ∫ 0 2 π sen ⁡ φ 60 + sen 2 ⁡ φ cos ⁡ θ 64 d θ   d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a θ :

= ∫ 0 π θ sen ⁡ φ 60 + sen 2 ⁡ φ sen ⁡ θ 64   θ = 0 θ = 2 π     d φ =

= ∫ 0 π π sen ⁡ φ 30     d φ =

Passo 7

Finalmente, integrando em relação a φ :

= π cos ⁡ φ 30 0 π =

= π ( 1 - ( - 1 ) ) 30 =

Resposta

π 15

Exercício Resolvido #2

USP - Cálculo 3 - PSUB 2015 – 1

Calcule a massa da região x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 2 com função densidade δ x , y , z = 2 + z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por δ x , y , z . Nós sabemos que:

d m =   δ x , y , z d V

Onde d m é o diferencial de massa e d V o de volume. Integrando ambos os lados na região W em que o sólido está contido, temos que:

M = ∭ W   δ x , y , z d V

M = ∭ W   2 + z   d x d y d z

Passo 2

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio 2 centrada em ( 0,0 , 1 ) :

A região do problema é o que está dentro da esfera, beleza?

Passo 3

Como a região é limitada por uma esfera, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Na verdade, para facilitar um pouco a vida, vamos usar coordenadas esféricas deslocadas, ok?

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ + 1

J = ρ 2 s e n   φ

Assim, o centro das coordenadas é o centro da esfera, isso vai nos ajudar bastante.

Passo 4

Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Como nós deslocamos as coordenadas para o centro da esfera, ela passa a ser escrita como ρ = r a i o , no caso:

ρ = 2

Você pode verificar isso fazendo a mudança esférica na sua equação!

x 2 + y 2 + z - 1 2 ≤ 2

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ + 1

O termo - 1 da equação vai ser cancelado pelo + 1 da mudança esférica.

Bom, como se trata da esfera inteira, 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π , o que nos dá:

W = ρ , θ , φ 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π ;   0 ≤ ρ ≤ 2

Passo 5

Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:

M = ∭ W   2 + z   d x d y d z

= ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 + ρ cos ⁡ φ + 1 ρ 2 s e n   φ   d ρ d θ d φ =

= ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ρ 3 s e n   φ cos ⁡ φ + 3 ρ 2 s e n   φ d ρ d θ d φ =

Passo 6

Agora vamos integrar em relação a ρ :

= ∫ 0 π / ∫ 0 2 π ρ 4 4 s e n   φ cos ⁡ φ + ρ 3 s e n   φ 0 2 d θ d φ =

= ∫ 0 π / ∫ 0 2 π s e n   φ cos ⁡ φ + 2 2 s e n   φ d θ d φ =

Passo 7

Agora em relação a θ :

= 2 π ∫ 0 π s e n   φ cos ⁡ φ + 2 2 s e n   φ   d φ =