Teoria Completa
Deslocamentos nas mudanças
Galera, imaginem que a nossa região de integração é essa esfera aqui embaixo:
Primeiro, vamos tentar a substituição esférica normal:
Levando isso para a esfera:
Meio chata essa expressão, não é? Agora vamos tentar fazer essa substituição aqui:
Olha o que acontece:
Viu que a esfera voltou a ser uma expressão bonitinha? O que a gente fez foi mudar o centro das coordenadas esféricas para o centro da esfera . Assim, a distância dos pontos da esfera à (nova) origem passa a ser constante e a expressão dela passa a ser .
Mas como a gente fez isso? Somando as coordenadas do centro da esfera nas variáveis da mudança esférica. Basicamente, você tem que somar números a e que cancelem as constantes “soltas” nos termos quadráticos da equação. Resumindo, é o seguinte:
Para uma esfera do tipo
Geralmente, faremos a mudança
A esfera vai passar a ser escrita como . Pode fazer essa mudança para conferir.
Beleza, mas e o jacobiano? O que acontece com ele?
Lembra que o jacobiano é calculado por derivadas parciais dos termos da mudança? Bom, a derivada de uma constante não é zero? Então todos esses termos e vão desaparecer! Portanto: sempre que somamos ou substraímos constantes em uma mudança de variáveis o seu jacobiano não se altera. Logo:
Bom, já que falamos de coordenadas esféricas, vamos falar das coordenadas cilíndricas também. Seguindo o mesmo raciocínio, quando encontramos um cilindro deslocado da origem do tipo:
Nós podemos fazer a mudança cilíndrica:
Isso nos dá:
O jacobiano não se altera, novamente! Dessa forma, a distância dos pontos do cilindro ao eixo passa a ser constante e ele passa a ser descrito como .
Recapitulando: quando você encontrar regiões que pareçam perfeitas para a mudança esférica ou cillíndrica, porém não estejam centradas na origem, às vezes vale à pena fazer essas mudanças com centro deslocado. Mas muito cuidado: não é só porque você tem uma superfície deslocada que vai valer à pena fazer isso! Em geral, usamos esse artifício quando a região toda é centrada em algum eixo/ ponto.
Então, depois de fazer a mudança e encontrar os intervalos das variáveis, a questão vira qualquer outra questão de integrais triplas, não tem mistério!
Mudança de eixos
Aqui a gente vai ter uma situação desse tipo
Bom, já que é um cilindro, vamos usar coodenadas cilíndricas, certo:
Levando isso para e equação do cilindro:
Agora, nas equações dos planos:
Nossa, ficou tudo horrível, né? Mas porque?
Isso aconteceu porque as coordenadas cilíndricas são definidas com simetria em relação ao eixo , olha só:
Então, as superfícies que tem simetria nesse eixo tendem a ficar mais simples escritas nessas coordenadas. Mas, nosso cilindro do exemplo está “deitado” com simetria no eixo , por isso não conseguimos agrupar termos na mudança e a expressão dele ficou zoada.
Ah, então não tem o que fazer? Não usamos essa mudança? Claro que não, nós só vamos usar uma mudança cilíndrica diferente.
Vamos criar uma mudança cilíndrica que tenha simetria em ! Quando a simetria era em , repare que a única coordenada que não se altera é essa:
Então, a coordenada que não vai se alterar agora é a : É como se o eixo “virasse” o eixo . Então vamos ter
Pronto, essa é nossa mudança! Isso é um macete para você não se perder. O jacobiano não muda:
Vamos tentar fazer essa nova mudança nas nossas superfícies então:
Agora, nas equações dos planos:
A região é definida então por , e .
Muito mais simples, não?
Lembrando que, como definimos as coordenadas cilíndricas com simetria em , o raio é marcado a partir desse eixo e o ângulo é marcado ao redor dele (no plano ). É como se o fosse o novo !
Mudança com denominadores diferentes
Digamos que você precise calcular uma integral tripla no interior da região:
Isso é um cilindro de seção elíptica:
Bom, já que é um cilindro, vamos tentar coordenadas cilíndricas, não é?
Se você substituir na equação do cilindro vai ver que vai ficar horrível! Porque o cilindro não ficará bonitinho como estamos acostumados a ver. Porque isso? Porque ele não tem seção circular! Então, na mudança de variáveis os termos não vão se agrupar certinho, por causa daquele coeficiente em .
E se a gente desse um jeito de sumir com esse coeficiente? Olha o que acontece quando fazemos essa substituição aqui:
Levando para o cilindro:
Viu que o que adicionamos à mudança cancelou aquele coeficiente ? Aí a expressão do cilindro ficou beem melhor. É como se a gente tivesse “transformado” sua seção em circular.
Mas e o que acontece com o Jacobiano da mudança? Esse coeficiente vai para ele:
Esse tipo de mudança pode ser muito útil quando temos cilindros de seção elíptica, pois ele faz o raio passar a ser constante e simplifica muito as coisas! Claro que temos que fazer a mesma mudança em todas as superfícies que estiverem limitando a região. A partir daí, a questão vira uma questão qualquer de integral tripla.
Então, quando temos um cilindro do tipo:
Podemos pensar na mudança:
Vamos ver um outro caso agora. Quando temos um elipsoide do tipo:
Isso se parece muito com uma esfera, não é? Porém se tentarmos a substituição esférica, vamos encontrar uma expressão meio zoada que nem aconteceu com o cilindro. Isso porque, novamente, o raio da superfície não é constante.
Mas se a gente fizer uma substituição do tipo:
Os coeficientes do elipsoide vão “sumir” e vamos encontrar um constante.
Isso porque esses coeficientes que acrescentamos à mudança esférica vão cancelar os coeficientes do elipsoide, “transformando” ele na esfera . Lembrando que os coeficientes vão todos para o Jacobiano.
Show? Então, quando você encontrar um elipsoide pode pensar em fazer esse tipo de mudança esférica. O resto da questão fica o mesmo passo a passo de sempre!
Beleza? Vamos treinar isso aí!
Exercício Resolvido #1
Calcule o valor da integral
Onde .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado da expressão da superfície, temos:
Uma esfera de raio centrada em , portanto, deslocada no eixo .
Passo 2
Essa região de integração parece simples, não é? Sim, mas, quando fazemos a mudança para coordenadas esféricas , como temos feito até agora, a integral se torna uma expressão não muito agradável, envolvendo e . Vamos, então, tentar contornar esse problema.
Uma esfera centrada na origem é escrita em coordenadas polares como , como já vimos. Essa esfera do problema, por estar deslocada, seria escrita como . Mas porque temos agora essa expressão bem mais complicada? Porque agora, não temos mais a simetria em relação à origem, pois a distância dos pontos da esfera ao ponto não é mais constante.
Temos, então, duas saídas para tornar a região de integração mais simétrica em relação aos eixos coordenados.
Solução 1: Essa solução é a mais abrangente. Se você reparar, as coordenadas esféricas são definidas com uma certa simetria em relação ao eixo . Como assim? O ângulo é medido em torno desse eixo e o ângulo , a partir desse eixo. Por isso, quando temos uma esfera deslocada em , sua equação não fica tão complicada como quando está deslocada nos outros eixos.
Partindo dessa ideia, podemos, então, fazer uma mudança esférica diferente, atribuindo não ao eixo , mas ao eixo de simetria da região, no caso, o eixo . Teremos, então:
Dessa forma a esfera seria escrita como . Essa solução seria muito útil se tivéssemos uma região mais complexa com simetria em .
Solução 2: Provavelmente essa forma é a mais intuitiva, mais fácil de visualizar. A esfera não está centrada na origem? Leve a origem a ela então! Como assim? A esfera está deslocada em , não é? Em vez de definirmos , vamos definir , o que nos dá:
É como se você tivesse levado a origem para o ponto . Veja que, substituindo esses valores na equação da esfera, temos:
Temos, agora, uma expressão muito mais simples para a esfera. Talvez você esteja se perguntando: o Jacobiano não muda? Não, porque quando adicionamos ou subtraímos uma constante na mudança de variáveis, a derivada desse termo é zero, logo, o Jacobiano não se altera!
Aqui, vamos optar por essa solução.
Passo 3
Utilizando essa substituição, a região de integração é escrita como:
Exatamente como uma esfera centrada na origem.
Passo 4
Vamos agora escrever o termo em função das novas variáveis.
Montando agora a integral iterada, temos:
Passo 5
Agora integraremos em relação a :
Passo 6
Agora vamos integrar em relação a :
Passo 7
Finalmente, integrando em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Calcule a massa da região com função densidade .
Passo 1
O problema pede que calculemos a massa do sólido delimitado pelas superfícies acima, sabendo que sua densidade é dada por . Nós sabemos que:
Onde é o diferencial de massa e o de volume. Integrando ambos os lados na região em que o sólido está contido, temos que:
Passo 2
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Temos uma esfera de raio centrada em :
A região do problema é o que está dentro da esfera, beleza?
Passo 3
Como a região é limitada por uma esfera, vamos utilizar coordenadas esféricas:
Na verdade, para facilitar um pouco a vida, vamos usar coordenadas esféricas deslocadas, ok?
Assim, o centro das coordenadas é o centro da esfera, isso vai nos ajudar bastante.
Passo 4
Precisamos escrever matematicamente a região de integração. Como nós deslocamos as coordenadas para o centro da esfera, ela passa a ser escrita como , no caso:
Você pode verificar isso fazendo a mudança esférica na sua equação!
O termo da equação vai ser cancelado pelo da mudança esférica.
Bom, como se trata da esfera inteira, , o que nos dá:
Passo 5
Vamos agora fazer a substituição esférica na integral:
Passo 6
Agora vamos integrar em relação a :
Passo 7
Agora em relação a :