Alterações na Mudança de Variável

Teoria Completa

Deslocamentos nas mudanças

Galera, imaginem que a nossa região de integração é essa esfera aqui embaixo:

x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1

Primeiro, vamos tentar a substituição esférica normal:

x = ρ   s e n   φ   c o s   ,     y = ρ   s e n   φ   s e n   θ ,     z = ρ cos ⁡ φ

Levando isso para a esfera:

ρ   s e n   φ   c o s   θ - 1 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ - 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ - 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ

ρ 2 = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ → ρ = 2   s e n   φ   c o s   θ

Meio chata essa expressão, não é? Agora vamos tentar fazer essa substituição aqui:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 ,     y = ρ   s e n   φ   s e n   θ ,     z = ρ cos ⁡ φ

Olha o que acontece:

ρ   s e n   φ   c o s   θ + 1 - 1 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1 → ρ = 1

Viu que a esfera voltou a ser uma expressão bonitinha? O que a gente fez foi mudar o centro das coordenadas esféricas para o centro da esfera ( 1,0 , 0 ) . Assim, a distância dos pontos da esfera à (nova) origem passa a ser constante e a expressão dela passa a ser ρ = r a i o .

Mas como a gente fez isso? Somando as coordenadas do centro da esfera nas variáveis da mudança esférica. Basicamente, você tem que somar números a x ,   y e z que cancelem as constantes “soltas” nos termos quadráticos da equação. Resumindo, é o seguinte:

Para uma esfera do tipo

x - a 2 + y - b 2 + z - c 2 = r a i o 2

Geralmente, faremos a mudança

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ + a

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ + b

z = ρ cos ⁡ φ + c

A esfera vai passar a ser escrita como ρ = r a i o . Pode fazer essa mudança para conferir.

Beleza, mas e o jacobiano? O que acontece com ele?

Lembra que o jacobiano é calculado por derivadas parciais dos termos da mudança? Bom, a derivada de uma constante não é zero? Então todos esses termos a ,   b e c vão desaparecer! Portanto: sempre que somamos ou substraímos constantes em uma mudança de variáveis o seu jacobiano não se altera. Logo:

J = ρ 2 s e n φ

Bom, já que falamos de coordenadas esféricas, vamos falar das coordenadas cilíndricas também. Seguindo o mesmo raciocínio, quando encontramos um cilindro deslocado da origem do tipo:

x - a 2 + y - b 2 = r a i o 2

Nós podemos fazer a mudança cilíndrica:

x = r cos ⁡ θ + a

y = r   s e n   θ + b

z = z

J = r

Isso nos dá:

r cos ⁡ θ + a - a 2 + r   s e n   θ + b - b 2 = r a i o 2 → r = r a i o

O jacobiano não se altera, novamente! Dessa forma, a distância dos pontos do cilindro ao eixo z passa a ser constante e ele passa a ser descrito como r = r a i o .

Recapitulando: quando você encontrar regiões que pareçam perfeitas para a mudança esférica ou cillíndrica, porém não estejam centradas na origem, às vezes vale à pena fazer essas mudanças com centro deslocado. Mas muito cuidado: não é só porque você tem uma superfície deslocada que vai valer à pena fazer isso! Em geral, usamos esse artifício quando a região toda é centrada em algum eixo/ ponto.

Então, depois de fazer a mudança e encontrar os intervalos das variáveis, a questão vira qualquer outra questão de integrais triplas, não tem mistério!

Mudança de eixos

Aqui a gente vai ter uma situação desse tipo

Bom, já que é um cilindro, vamos usar coodenadas cilíndricas, certo:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z ,     J = r

Levando isso para e equação do cilindro:

y 2 + z 2 = 1

r   s e n   θ 2 + z 2 = 1

Agora, nas equações dos planos:

x = 1 = r cos ⁡ θ

x = 2 = r cos ⁡ θ

Nossa, ficou tudo horrível, né? Mas porque?

Isso aconteceu porque as coordenadas cilíndricas são definidas com simetria em relação ao eixo z , olha só:

Então, as superfícies que tem simetria nesse eixo tendem a ficar mais simples escritas nessas coordenadas. Mas, nosso cilindro do exemplo está “deitado” com simetria no eixo x , por isso não conseguimos agrupar termos na mudança e a expressão dele ficou zoada.

Ah, então não tem o que fazer? Não usamos essa mudança? Claro que não, nós só vamos usar uma mudança cilíndrica diferente.

Vamos criar uma mudança cilíndrica que tenha simetria em x ! Quando a simetria era em z , repare que a única coordenada que não se altera é essa:

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,     z = z

Então, a coordenada que não vai se alterar agora é a x : É como se o eixo x “virasse” o eixo z . Então vamos ter

y = r cos ⁡ θ ,     z = r   s e n   θ ,     x = x

Pronto, essa é nossa mudança! Isso é um macete para você não se perder. O jacobiano não muda:

J = r

Vamos tentar fazer essa nova mudança nas nossas superfícies então:

y 2 + z 2 = 1

r   c o s   θ 2 + r   s e n   θ 2 = 1

r 2 = 1 → r = 1

Agora, nas equações dos planos:

x = 1

x = 2

A região é definida então por 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π e 1 ≤ x ≤ 2 .

Muito mais simples, não?

Lembrando que, como definimos as coordenadas cilíndricas com simetria em x , o raio r é marcado a partir desse eixo e o ângulo θ é marcado ao redor dele (no plano y z ). É como se o x fosse o novo z !

Mudança com denominadores diferentes

Digamos que você precise calcular uma integral tripla no interior da região:

4 x 2 + y 2 = 1

Isso é um cilindro de seção elíptica:

Bom, já que é um cilindro, vamos tentar coordenadas cilíndricas, não é?

x = r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n   θ ,       z = z

Se você substituir na equação do cilindro vai ver que vai ficar horrível! Porque o cilindro não ficará r = r a i o bonitinho como estamos acostumados a ver. Porque isso? Porque ele não tem seção circular! Então, na mudança de variáveis os termos não vão se agrupar certinho, por causa daquele coeficiente 4 em x 2 .

E se a gente desse um jeito de sumir com esse coeficiente? Olha o que acontece quando fazemos essa substituição aqui:

x = 1 2 r cos ⁡ θ ,     y = r   s e n θ ,     z = z

Levando para o cilindro:

4 1 2 r cos ⁡ θ 2 + ( r   s e n   θ ) 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 s e n 2 θ = 1

r 2 = 1 → r = 1

Viu que o 1 / 2 que adicionamos à mudança cancelou aquele coeficiente 4 ? Aí a expressão do cilindro ficou beem melhor. É como se a gente tivesse “transformado” sua seção em circular.

Mas e o que acontece com o Jacobiano da mudança? Esse coeficiente vai para ele:

J = 1 2 r

Esse tipo de mudança pode ser muito útil quando temos cilindros de seção elíptica, pois ele faz o raio passar a ser constante e simplifica muito as coisas! Claro que temos que fazer a mesma mudança em todas as superfícies que estiverem limitando a região. A partir daí, a questão vira uma questão qualquer de integral tripla.

Então, quando temos um cilindro do tipo:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Podemos pensar na mudança:

x = a   r cos ⁡ θ

y = b   r   s e n   θ

z = z

J = a b   r

Vamos ver um outro caso agora. Quando temos um elipsoide do tipo:

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Isso se parece muito com uma esfera, não é? Porém se tentarmos a substituição esférica, vamos encontrar uma expressão meio zoada que nem aconteceu com o cilindro. Isso porque, novamente, o raio da superfície não é constante.

Mas se a gente fizer uma substituição do tipo:

x = a   ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = b   ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = c   ρ cos ⁡ φ

J = a b c   ρ 2 s e n φ