Valores Médios em Sólidos

Teoria Completa

Definição

Agora que já sabemos resolver vários casos de Integrais Triplas, vamos ver algumas aplicações desse assunto.

Em Física, muitas vezes calculamos temperaturas médias de alguns objetos, por exemplo, uma barra, cuja temperatura varia linearmente de T m i n = 0 º C a T m a x = 100 º C , tem temperatura média de 50 º C

Mas e se eu quiser calcular essas temperaturas médias para formas mais complexas? (É a primeira coisa que pensamos quando vemos um objeto complicado né?). Suponha que eu tenha uma placa de dimensões 10 c m × 10 c m × 1 c m e que eu saiba que a temperatura nessa placa varia pela função f x , y , z = x y z , como eu seria capaz de calcular a temperatura média dela?

Note que não é um exemplo trivial em que a temperatura varia linearmente como no exemplo anterior, teremos um pouco mais de trabalho.

Para resolver esse problema usaremos um conceito novo, a Teoria do Valor Médio, ela diz que o valor médio de qualquer função f ( x , y , z ) sobre uma região D pode ser descrita por:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D f x , y , z d V

Basicamente, quando você faz isso, você tira uma média ponderada baseada no volume da sua região, ou seja, se 99% do volume do meu objeto tiver uma temperatura de 10 º C , a temperatura calculada pela integral do valor médio deve ser muito próxima de 10 º C (faz sentido certo?)

Voltando para o nosso exemplo, vamos aplicar a fórmula do valor médio, mostrando o passo a passo para esse tipo de questão:

Exemplo

Temos uma placa com dimensões 10 c m × 10 c m × 1 c m , cuja temperatura varia de acordo com f x , y , z = x y z e queremos calcular a sua temperatura média.

Passo 1:

A primeira coisa a se fazer é organizar as informações que foram dadas no problema. Nesse caso não foram muitas, só jogar na integral do valor médio:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D x y z d V

Passo 2:

Vamos agora definir os limites de integração da nossa região D . Por ser um paralelepípedo, todos os seus limites são planos:

x = 0   e   x = 10

y = 0   e   y = 10

z = 0   e   z = 1

Portanto:

0 ≤ x ≤ 10 0 ≤ y ≤ 10 0 ≤ z ≤ 1

Passo 3:

Devemos então calcular o volume da nossa região D . Temos duas situações aqui:

Se D for uma forma geométrica fácil (paralelepípedo, cubo, cilindro, etc.) como no problema, dá para calcular pelas fórmulas matemáticas de volume conhecidas. No nosso caso:

V D = V P a r a l e l e p í p e d o = a b c = 10   .   10   .   1

V D = 100 c m 3

Se D for uma forma mais complicada, que a gente não consiga descobrir o volume direto, vamos ter que usar aquele conceito de volume por integral tripla, lembra? Onde:

V D = ∭ D 1   d V

Passo 4:

Agora é só juntar tudo e resolver a integral!

V a l o r   M é d i o = 1 100 ∫ 0 1 ∫ 0 10 ∫ 0 10 x y z   d x d y d z =

= 1 100 ∫ 0 1 ∫ 0 10 y z x 2 2 10 0 d y d z = 1 100 ∫ 0 1 ∫ 0 10 50 y z   d y d z =

= 50 100 ∫ 0 1 z y 2 2 10 0 d z = 1 2 ∫ 0 1 50 z   d z =

= 25 z 2 2 1 0 = 25 . 1 2 = 12,5

V a l o r   M é d i o = 12,5

OBS: Perceba que, como estamos fazendo uma temperatura média, o resultado final deve estar entre a temperatura máxima e a mínima da placa.

f m i n ≤ V a l o r   M é d i o ≤ f m a x

Sempre que possível vamos verificar isso para dar uma confiança a mais na nossa resposta! No nosso exemplo:

T m i n = 0

T m a x = 100

De fato, nosso resultado está entre T m i n e T m a x .

Dando uma resumida no nosso passo a passo:

Passo 1: Montar o Problema

Passo 2: Definir os Limites de Integração

Passo 3: Calcular o Volume de D

Passo 4: Resolver a integral

Bem tranquilo né? Agora vamos para os exercícios praticar isso aí!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Encontre o valor médio de F x , y , z = x 2 + 9 sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 2 , y = 2 e z = 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos organizar o enunciado, pegamos as informações que nos importam. Primeiramente, a questão diz que o cubo está no primeiro octante, ou seja:

x ≥ 0 ; y ≥ 0 ; z ≥ 0

Em seguida ele nos diz que a região D é um cubo, portanto sabemos que o volume será calculado pela fórmula

V D = a 3

Com isso montamos a nossa integral para calcular o valor médio:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

Resta saber o valor do volume e os limites de integração. Fica tranquilo que vamos fazer os dois em passos bem explicadinhos aqui.

Passo 2

Partindo para os limites de integração, sabemos que D é um cubo, por isso seus limites são todos planos com os valores dados no enunciado:

x = 0   e   x = 2

y = 0   e   y = 2

z = 0   e   z = 2

Logo, os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 2 0 ≤ z ≤ 2

Passo 3

Vamos calcular então o volume de D , que por ser um cubo tem a fórmula

V D = V C u b o = a 3

Note que o nosso cubo tem aresta a = 2 , logo:

V D = 2 3 = 8

Passo 4

Agora só falta juntar tudo e resolver a integral.

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

V a l o r   M é d i o = 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 2 + 9   d x d y d z

Integrando em x :

= 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 x 3 3 + 9 x x = 2 x = 0   d y d z = 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 8 3 + 18   d y d z

Integrando em y :

= 1 8 ∫ 0 2 ∫ 0 2 62 3 d y d z = 1 8 ∫ 0 2 62 y 3 y = 2 y = 0 d z = 1 8 ∫ 0 2 124 3 d z

Integrando em z :

= 1 8 124 z 3 z = 2 z = 0 = 248 24 = 31 3

V a l o r   M é d i o = 31 3

Resposta

31 3

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Encontre o valor médio de F x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 sobre o cubo no primeiro octante limitado pelos planos coordenados e pelos planos x = 1 , y = 1 e z = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos dar uma organizada nas informações que ele deu. Apareceu essa história de primeiro octante de novo, já sabemos que isso quer dizer que

x ≥ 0 ,   y ≥ 0   e   z ≥ 0

De novo a nossa região D é um cubo, então tem um volume conhecido

V D = a 3

Montando a integral do valor médio temos:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D x 2 + y 2 + z 2   d V

Vamos ver passo a passo como calcular o Volume de D e os limites de integração

Passo 2

Olhando para os planos que o enunciado usa para limitar a região D temos:

x = 0   e   x = 1 y = 0   e   y = 1 z = 0   e   z = 1

Com isso os limites de integração são:

0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1

Passo 3

Sabendo que a nossa região D é um cubo e sabendo a fórmula do volume de um cubo temos que:

V D = V C u b o = a 3

No nosso caso, a = 1 , portanto

V D = 1

Passo 4

Juntando tudo na integral do passo 1 temos:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

V a l o r   M é d i o = 1 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z

Integrando em x :

= ∫ 0 1 ∫ 0 1 x 3 3 + x y 2 + x z 2 x = 1 x = 0   d y d z = ∫ 0 1 ∫ 0 1 1 3 + y 2 + z 2 d y d z

Integrando em y :

= ∫ 0 1 y 3 + y 3 3 + y z 2 y = 1 y = 0   d z = ∫ 0 1 1 3 + 1 3 + z 2 d z

Integrando em z :

= ∫ 0 1 2 3 + z 2 d z = 2 z 3 + z 3 3 z = 1 z = 0 = 2 3 + 1 3 = 1

V a l o r   M é d i o = 1

Resposta

1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Encontre o valor médio de F x , y , z = x 2 + y 2 + 2 y sobre a região D delimitada por

x 2 + y 2 = 4 z = 0 z = 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Temos uma região um pouco mais complicada dessa vez ne? Mas não se assuste, o passo a passo vai ser o mesmo, vamos entender um pouco o que significa esse D que ele nos deu.

A nossa primeira equação trata-se da equação de um cilindro de raio r = 2 , já nos dá uma ideia de que teremos que fazer mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, então se isso não está mt bem fixado dá uma olhada nos exercícios desse tipo.

Nosso cilindro vai ser limitado pelos planos z = 0 e z = 4 , fica mais ou menos assim:

O volume de um cilindro é dado pela fórmula

V C i l í n d r o = A B . h = π r 2 h

Lembrando da nossa equação do valor médio temos que

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

Precisamos calcular então o volume de D e os limites dessa integração mudando as variáveis de x , y , z para r , θ , z

Passo 2

Vamos identificar os limites de integração da nossa região D . Perceba que, por ser um cilindro, é mais fácil transformar x , y , z em r , θ , z . Teremos então:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

z = z

O jacobiano dessa mudança de variável é:

J = r

d x d y d z = r   d r d θ d z

Pela equação do cilindro:

x 2 + y 2 = 4

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ = 4

r 2 = 4

r = 2

Portanto os nossos limites de integração serão:

0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ z ≤ 4

Passo 3

Para calcular o volume do cilindro D podemos usar a fórmula dada no passo 1:

V C i l í n d r o = π r 2 h = π . 2 2 . 4

V D = 16 π

OBS: Se você não se lembrasse da fórmula do cilindro, poderia descobrir o volume usando a seguinte integral tripla:

V D = ∭ D 1   d V

Onde d V = d x d y d z = r d r d θ d z e D tem os limites de integração calculados no passo 2.

Passo 4

Agora vamos juntar tudo na integral e resolver, tome muito cuidado para não esquecer nenhum termo nessa parte!

Quando mudamos de variável, nosso F ( x , y , z ) tem que ser transformado em um F ( r , θ , z )

F x , y , z = x 2 + y 2 + 2 y = r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sen 2 ⁡ θ + 2 r sen ⁡ θ

F r , θ , z = r 2 + 2 r sen ⁡ θ

Colocando tudo na integral:

V a l o r   M é d i o = 1 V o l u m e   d e   D ∭ D F x , y , z d V

= 1 16 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( r 2 + 2 r sen ⁡ θ )   r   d r d θ d z = 1 16 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 + 2 r 2 sen ⁡ θ   d r d θ d z

Integrando em r :

= 1 16 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π r 4 4 + 2 r 3 3 sen ⁡ θ r = 2 r = 0 d θ d z = 1 16 π ∫ 0 4 ∫ 0 2 π 4 + 16 3 sen ⁡ θ   d θ d z

Integrando em θ :

1 16 π ∫ 0 4 4 θ - 16 3 cos ⁡ θ θ = 2 π θ = 0 d z = 1 16 π ∫ 0 4 8 π - 16 3 - 0 - 16 3 d z = 1 16 π ∫ 0 4 8 π   d z

Finalmente, integrando em z :

1 16 π 8 π z z = 4 z = 0 = 32 π 16 π = 2

V a l o r   M é d i o = 2

Resposta

2

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