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Mudança para Coordenadas Esféricas

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Teoria Completa

Definição

Vamos aprender, agora, um sistema de coordenadas muito útil em integrais triplas: as coordenadas esféricas. Antes de fazer substituições, é importante que você entenda bem como descrever um ponto nesse sistema.

Em coordenadas cartesianas, localizamos um ponto fornecendo três valores: x , y e z , não é? Nas cilíndricas, como você já deve ter visto, as coordenadas são r , θ e z , o que se assemelha um pouco com as polares. Agora, vamos definir outras coordenadas para descrever esse mesmo ponto: ρ , θ e φ . Veja a figura abaixo:

Como você vê na imagem, a coordenada ρ representa a distância entre o ponto e a origem ( 0,0 , 0 ) , portanto, ρ ≥ 0 . Cuidado para não confundir como “ r ” das coordenadas cilíndricas, que é a distância horizontal entre o ponto e o eixo z !

O ângulo θ é o mesmo que vimos para as coordenadas cilíndricas, é medido entre a projeção do ponto no plano x y e o eixo x , sem muito mistério. Temos, então, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

A grande novidade aqui é esse ângulo φ . Ele é medido entre ρ (o segmento que liga o ponto e a origem) e a parte positiva do eixo z , ou seja, a parte “de cima”. Portanto, 0 ≤ φ ≤ π .

Agora vamos analisar algumas formas geométricas especiais.

Que superfície é gerada com a equação ρ = a nas coordenadas esféricas? Essa é uma equação independente de θ e de φ , portanto, temos ρ = a para qualquer valor desses ângulos. Essa não é exatamente a definição de uma esfera de raio a ? Assim, então, que descrevemos uma esfera nas coordenadas esféricas, muito mais simples de todas as formas que vimos até agora. Temos então:

E s f e r a = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ ρ ≤ a ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π }

Vamos tomar, agora, a equação θ = θ o , independente de ρ e de φ . Essa expressão gera um plano que forma o ângulo θ o com o eixo x , veja:

E se tivéssemos φ = φ o ? Essa é uma equação independente de θ e de ρ , ou seja, temos o conjunto dos pontos que formam o ângulo φ o com o eixo z , em torno desse eixo. Se esse ângulo φ o for do 1º quadrante, teremos, então, uma folha de cone desse tipo:

Mudança para coordenadas esféricas

Agora que você já entendeu o conceito desse sistema coordenado, está na hora de aprender como traduzir equações em coordenadas cartesianas para as esféricas. Vamos deduzir essa relação pela figura abaixo:

Pela imagem, podemos ver que x = r   c o s   θ e y = r   s e n   θ (como tínhamos nas coordenadas cilíndricas). Mas não queremos expressões em função de r , sim de ρ , né?

Temos, então, que r = ρ   s e n   φ (cateto oposto ao ângulo φ ). Vamos, então, substituir esse valor nas expressões acima:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

Como z é o cateto adjacente ao ângulo φ , temos:

z = ρ cos ⁡ φ

Essas são as equações que utilizaremos na mudança para coordenadas esféricas. Como em todas as substituições que fazemos, precisamos calcular seu Jacobiano:

J = ∂ x , y , z ∂ ( ρ , θ , φ ) = s e n φ cos ⁡ θ - ρ s e n φ sen ⁡ θ ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ s e n φ sen ⁡ θ ρ s e n φ cos ⁡ θ ρ cos ⁡ φ s e n θ cos ⁡ φ 0 - ρ s e n φ = - ρ 2 s e n φ

J = ρ 2 s e n φ

Memorize essa expressão!

Beleza?

Vamos agora testar essa transformação, afinal, temos que ver se ela funciona, não é? Tomaremos como exemplo x 2 + y 2 + z 2 = 1 , uma esfera de raio 1 .

Fazendo a substituição x = ρ   s e n   φ   c o s   θ , y = ρ   s e n   φ   s e n   θ e z = ρ cos ⁡ φ , teremos:

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ = 1

Pronto, a equação da esfera se resume, agora, a ρ = 1 nas coordenadas esféricas.

Dica: As coordenadas esféricas simplificam superfícies que possuem simetria em relação a um ponto, como esferas e cones.

Importante: Da mesma forma que, nas coordenadas cilíndricas, podíamos encontrar cilindros com bases elípticas, aqui podemos encontrar elipsoides, que são “esferas” com coeficientes de x 2 , y 2 e z 2 diferentes entre si. Você vai, então, fazer o mesmo que tem feito até agora: substituições com coeficientes diferentes, por exemplo:

x = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ , y = 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ e z = ρ cos ⁡ φ

Não se esqueça de ajustar o Jacobiano, multiplicando-o por esses coeficientes: J = 2 3 ρ 2 s e n φ !

Exemplo: Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

Passo 1: O primeiro passo é esboçar a região do enunciado.

Passo 2: Precisamos escrever matematicamente essa região. Como B é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

A região de integração passa a ser, então:

B = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ ρ ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π }

Passo 3: Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em coordenadas esféricas. Temos, então:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 2 3 / 2 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 3 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ

Passo 4: Fazendo a substituição ρ 3 = u , temos 3 ρ 2 d ρ = d u . A integral passa a ser:

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e u s e n   φ d u   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ e u u = 0 u = 1   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ ( e - 1 ) d θ   d φ =

Passo 5: Agora, integramos em relação a θ :

= ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   θ θ = 0 θ = 2 π   d φ =

= 2 π ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   d φ =

Passo 6: Finamente, integramos em relação a φ :

= - 2 π ( e - 1 ) 3 cos ⁡ φ 0 π =

= - 2 π e - 1 3 - 1 - - 2 π e - 1 3 =

= 2 π e - 1 3 + 2 π e - 1 3 =   4 π e - 1 3

Bom, vamos ver isso tudo na prática agora! Seguindo o mesmo padrão dos exercícios de mudanças de variáveis: você deve reconhecer a região de integração, fazer a mudança para as coordenadas esféricas, escrever essa região nessas coordenadas (encontrando os intervalos de ρ , θ e φ ) e então reescrever a integral (sem se esquecer do Jacobiano!). Depois, é só integrar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 957

Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

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Passo 1

Precisamos escrever matematicamente essa região. Como B é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

Como já vimos, a região de integração passa a ser, então:

B = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ ρ ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π }

Passo 2

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em coordenadas esféricas. Temos, então:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 2 3 / 2 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 3 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 3

Fazendo a substituição ρ 3 = u , temos 3 ρ 2 d ρ = d u . A integral passa a ser:

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e u s e n   φ d u   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ e u u = 0 u = 1   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ ( e - 1 ) d θ   d φ =

Passo 4

Agora, integramos em relação a θ :

= ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   θ θ = 0 θ = 2 π   d φ =

= 2 π ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   d φ =

Passo 5

Finamente, integramos em relação a φ :

= - 2 π ( e - 1 ) 3 cos ⁡ φ 0 π =

= - 2 π e - 1 3 - 1 - - 2 π e - 1 3 =

= 2 π e - 1 3 + 2 π e - 1 3 =

Resposta

4 π e - 1 3

Exercício Resolvido #2

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 957, adaptado.

Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que se encontra acima do cone z = x 2 + y 2 e dentro da esfera x 2 + y 2 + z 2 = z .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:

x 2 + y 2 + z 2 - z = 0

x 2 + y 2 + z - 1 2 2 - 1 4 = 0

x 2 + y 2 + z - 1 / 2 2 = 1 4

Uma esfera centrada em ( 0,0 , 1 / 2 ) . Como o cone está expresso na forma z = x 2 + y 2 e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z ≥ 0 . Temos, então, essa região da figura:

Passo 2

Temos que V = ∭ W   d V

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ φ c o s   θ

y = ρ   sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ 2 π , pois o sólido está em volta do eixo z , fazendo uma volta completa. Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ρ 2 sen 2 ⁡ φ sen 2 ⁡ θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = ρ cos ⁡ φ

ρ 2 sen 2 ⁡ φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = ρ cos ⁡ φ

ρ = cos ⁡ φ

Temos, então, 0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ

Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos ρ = ( n ú m e r o ) ú para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.

Falta, então, o intervalo de φ . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo z , quando φ = 0 até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:

ρ cos ⁡ φ = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 sen 2 ⁡ φ )   sen 2 ⁡ θ

ρ cos ⁡ φ = ρ 2 sen 2 ⁡ φ   = ρ sen ⁡ φ

sen ⁡ φ = cos ⁡ φ   → tg ⁡ φ = 1   →   φ = π / 4

Portanto, 0 ≤ φ ≤ π / 4 . A região será escrita como:

W = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ φ ≤ π / 4 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ;   0 ≤ ρ ≤ cos ⁡ φ   }

Passo 4

Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.

∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 cos ⁡ φ ρ 2 sen ⁡ φ d ρ   d θ   d φ =

Passo 5

Agora integraremos em relação a ρ :

= ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π ρ 3 3 sen ⁡ φ ρ = 0 ρ = cos ⁡ φ   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 π cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d θ   d φ =

Passo 6

Agora, integramos em relação a θ :

= 1 3 ∫ 0 π / 4 ( θ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ ) θ = 0 θ = 2 π d φ =

= 2 π 3 ∫ 0 π / 4 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ =

Passo 7

Vamos resolver essa integral aqui rapidinho.

∫ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ

Repara que temos um seno e um cosseno ao cubo ali, se fizermos

u = cos ⁡ φ

A sua derivada vai estar na integral, então vamos fazer essa substituição

u = cos ⁡ φ → d u = - sen ⁡ φ d φ

A nossa integral vai ficar

∫ cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ = ∫ u 3 - d u = - ∫ u 3 d u

E vamos ter

- ∫ u 3 d u = - u 4 4

Voltando para φ

- u 4 4 = - cos 4 ⁡ φ 4

E assim temos nossa integral.

Passo 8

Voltando para nossa integral vamos ter

2 π 3 ∫ 0 π / 4 cos 3 ⁡ φ sen ⁡ φ d φ =

= 2 π 3 - cos 4 ⁡ φ 4 0 π / 4 = - 2 π 12 cos 4 ⁡ φ φ = 0 φ = π 4

= - π 6 2 2 4 - 1 4 = - π 6 1 4 - 1 =

= - π 6 - 3 4 = π 8

Resposta

π 8

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Cálculo III, P1/2012.2, 2

Calcular a integral tripla

J = ∭ W   z   d x d y d z

Onde W é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 z e z = 3 ( x 2 + y 2 ) , satisfazendo z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:

x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4

Uma esfera centrada em ( 0,0 , 2 ) de raio ρ = 2 . Como o cone está expresso na forma z = 3 ( x 2 + y 2 ) e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com z ≥ 0 (em vermelho). Tomamos a região que fica abaixo do cone porque a questão pede que z ≤ 3 ( x 2 + y 2 ) .

Como o enunciado pede a região contida no 1º octante ( x ≥ 0   e   y ≥ 0 ) , temos, então:

Passo 2

Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ sen ⁡ φ cos ⁡ θ  

y = ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 sen ⁡ φ

Passo 3

Precisamos escrever matematicamente a região de integração.

Pela própria figura, já vemos que 0 ≤ θ ≤ π / 2 (o que corresponde ao 1º octante). Os valores de ρ , nós vemos que variam desde a origem ρ = 0 até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:

ρ cos ⁡ θ sen ⁡ φ 2 + ρ sen ⁡ φ sen ⁡ θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 4 ρ cos ⁡ φ