Teoria Completa
Definição
Vamos aprender, agora, um sistema de coordenadas muito útil em integrais triplas: as coordenadas esféricas. Antes de fazer substituições, é importante que você entenda bem como descrever um ponto nesse sistema.
Em coordenadas cartesianas, localizamos um ponto fornecendo três valores: , e , não é? Nas cilíndricas, como você já deve ter visto, as coordenadas são , e , o que se assemelha um pouco com as polares. Agora, vamos definir outras coordenadas para descrever esse mesmo ponto: , e . Veja a figura abaixo:
Como você vê na imagem, a coordenada representa a distância entre o ponto e a origem , portanto, . Cuidado para não confundir como “” das coordenadas cilíndricas, que é a distância horizontal entre o ponto e o eixo !
O ângulo é o mesmo que vimos para as coordenadas cilíndricas, é medido entre a projeção do ponto no plano e o eixo , sem muito mistério. Temos, então, .
A grande novidade aqui é esse ângulo . Ele é medido entre (o segmento que liga o ponto e a origem) e a parte positiva do eixo , ou seja, a parte “de cima”. Portanto, .
Agora vamos analisar algumas formas geométricas especiais.
Que superfície é gerada com a equação nas coordenadas esféricas? Essa é uma equação independente de e de , portanto, temos para qualquer valor desses ângulos. Essa não é exatamente a definição de uma esfera de raio ? Assim, então, que descrevemos uma esfera nas coordenadas esféricas, muito mais simples de todas as formas que vimos até agora. Temos então:
Vamos tomar, agora, a equação , independente de e de . Essa expressão gera um plano que forma o ângulo com o eixo , veja:
E se tivéssemos ? Essa é uma equação independente de e de , ou seja, temos o conjunto dos pontos que formam o ângulo com o eixo , em torno desse eixo. Se esse ângulo for do 1º quadrante, teremos, então, uma folha de cone desse tipo:
Mudança para coordenadas esféricas
Agora que você já entendeu o conceito desse sistema coordenado, está na hora de aprender como traduzir equações em coordenadas cartesianas para as esféricas. Vamos deduzir essa relação pela figura abaixo:
Pela imagem, podemos ver que e (como tínhamos nas coordenadas cilíndricas). Mas não queremos expressões em função de , sim de , né?
Temos, então, que (cateto oposto ao ângulo ). Vamos, então, substituir esse valor nas expressões acima:
Como é o cateto adjacente ao ângulo , temos:
Essas são as equações que utilizaremos na mudança para coordenadas esféricas. Como em todas as substituições que fazemos, precisamos calcular seu Jacobiano:
Memorize essa expressão!
Beleza?
Vamos agora testar essa transformação, afinal, temos que ver se ela funciona, não é? Tomaremos como exemplo , uma esfera de raio .
Fazendo a substituição , e , teremos:
Pronto, a equação da esfera se resume, agora, a nas coordenadas esféricas.
Dica: As coordenadas esféricas simplificam superfícies que possuem simetria em relação a um ponto, como esferas e cones.
Importante: Da mesma forma que, nas coordenadas cilíndricas, podíamos encontrar cilindros com bases elípticas, aqui podemos encontrar elipsoides, que são “esferas” com coeficientes de , e diferentes entre si. Você vai, então, fazer o mesmo que tem feito até agora: substituições com coeficientes diferentes, por exemplo:
, e
Não se esqueça de ajustar o Jacobiano, multiplicando-o por esses coeficientes: !
Exemplo: Calcule , onde é a bola unitária:
Passo 1: O primeiro passo é esboçar a região do enunciado.
Passo 2: Precisamos escrever matematicamente essa região. Como é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:
A região de integração passa a ser, então:
Passo 3: Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que em coordenadas esféricas. Temos, então:
Passo 4: Fazendo a substituição , temos . A integral passa a ser:
Passo 5: Agora, integramos em relação a :
Passo 6: Finamente, integramos em relação a :
Bom, vamos ver isso tudo na prática agora! Seguindo o mesmo padrão dos exercícios de mudanças de variáveis: você deve reconhecer a região de integração, fazer a mudança para as coordenadas esféricas, escrever essa região nessas coordenadas (encontrando os intervalos de , e ) e então reescrever a integral (sem se esquecer do Jacobiano!). Depois, é só integrar!
Exercício Resolvido #1
Calcule , onde é a bola unitária:
Passo 1
Precisamos escrever matematicamente essa região. Como é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:
Como já vimos, a região de integração passa a ser, então:
Passo 2
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que em coordenadas esféricas. Temos, então:
Passo 3
Fazendo a substituição , temos . A integral passa a ser:
Passo 4
Agora, integramos em relação a :
Passo 5
Finamente, integramos em relação a :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido que se encontra acima do cone e dentro da esfera .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:
Uma esfera centrada em . Como o cone está expresso na forma e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com . Temos, então, essa região da figura:
Passo 2
Temos que
Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:
Passo 3
Precisamos escrever matematicamente a região de integração.
Pela própria figura, já vemos que , pois o sólido está em volta do eixo , fazendo uma volta completa. Os valores de , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação:
Temos, então,
Note que, como a esfera não está centrada na origem, não temos para sua equação, pois a distância dos seus pontos à origem não é constante.
Falta, então, o intervalo de . Pela figura, vemos que esse ângulo varia desde o eixo , quando até a superfície do cone, então vamos escrever sua equação em coordenadas esféricas:
Portanto, . A região será escrita como:
Passo 4
Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada.
Passo 5
Agora integraremos em relação a :
Passo 6
Agora, integramos em relação a :
Passo 7
Vamos resolver essa integral aqui rapidinho.
Repara que temos um seno e um cosseno ao cubo ali, se fizermos
A sua derivada vai estar na integral, então vamos fazer essa substituição
A nossa integral vai ficar
E vamos ter
Voltando para
E assim temos nossa integral.
Passo 8
Voltando para nossa integral vamos ter
Resposta
Exercício Resolvido #3
Calcular a integral tripla
Onde é o sólido no primeiro octante limitado pelas superfícies de equações e , satisfazendo .
Passo 1
Antes de tudo, vamos fazer um esboço da região para entender melhor o que está sendo pedido. Completando o quadrado na equação da esfera, temos:
Uma esfera centrada em de raio . Como o cone está expresso na forma e sabemos que a raiz deve ser sempre positiva, a parte a que o enunciado se refere é a folha de cima, com (em vermelho). Tomamos a região que fica abaixo do cone porque a questão pede que .
Como o enunciado pede a região contida no 1º octante (, temos, então:
Passo 2
Como a região é limitada por uma esfera e um cone, vamos utilizar coordenadas esféricas:
Passo 3
Precisamos escrever matematicamente a região de integração.
Pela própria figura, já vemos que (o que corresponde ao 1º octante). Os valores de , nós vemos que variam desde a origem até a superfície da esfera. Vamos, então, fazer a mudança de coordenadas na sua equação: