Mudança para Coordenadas Esféricas

Teoria Completa

Definição

Vamos aprender, agora, um sistema de coordenadas muito útil em integrais triplas: as coordenadas esféricas. Antes de fazer substituições, é importante que você entenda bem como descrever um ponto nesse sistema.

Em coordenadas cartesianas, localizamos um ponto fornecendo três valores: x , y e z , não é? Nas cilíndricas, como você já deve ter visto, as coordenadas são r , θ e z , o que se assemelha um pouco com as polares. Agora, vamos definir outras coordenadas para descrever esse mesmo ponto: ρ , θ e φ . Veja a figura abaixo:

Como você vê na imagem, a coordenada ρ representa a distância entre o ponto e a origem ( 0,0 , 0 ) , portanto, ρ ≥ 0 . Cuidado para não confundir como “ r das coordenadas cilíndricas, que é a distância horizontal entre o ponto e o eixo z !

O ângulo θ é o mesmo que vimos para as coordenadas cilíndricas, é medido entre a projeção do ponto no plano x y e o eixo x , sem muito mistério. Temos, então, 0 ≤ θ ≤ 2 π .

A grande novidade aqui é esse ângulo φ . Ele é medido entre ρ (o segmento que liga o ponto e a origem) e a parte positiva do eixo z , ou seja, a parte “de cima”. Portanto, 0 ≤ φ ≤ π .

Agora vamos analisar algumas formas geométricas especiais.

Que superfície é gerada com a equação ρ = a nas coordenadas esféricas? Essa é uma equação independente de θ e de φ , portanto, temos ρ = a para qualquer valor desses ângulos. Essa não é exatamente a definição de uma esfera de raio a ? Assim, então, que descrevemos uma esfera nas coordenadas esféricas, muito mais simples de todas as formas que vimos até agora. Temos então:

E s f e r a = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ ρ ≤ a ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π }

Vamos tomar, agora, a equação θ = θ o , independente de ρ e de φ . Essa expressão gera um plano que forma o ângulo θ o com o eixo x , veja:

E se tivéssemos φ = φ o ? Essa é uma equação independente de θ e de ρ , ou seja, temos o conjunto dos pontos que formam o ângulo φ o com o eixo z , em torno desse eixo. Se esse ângulo φ o for do 1º quadrante, teremos, então, uma folha de cone desse tipo:

Mudança para coordenadas esféricas

Agora que você já entendeu o conceito desse sistema coordenado, está na hora de aprender como traduzir equações em coordenadas cartesianas para as esféricas. Vamos deduzir essa relação pela figura abaixo:

Pela imagem, podemos ver que x = r   c o s   θ e y = r   s e n   θ (como tínhamos nas coordenadas cilíndricas). Mas não queremos expressões em função de r , sim de ρ , né?

Temos, então, que r = ρ   s e n   φ (cateto oposto ao ângulo φ ). Vamos, então, substituir esse valor nas expressões acima:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

Como z é o cateto adjacente ao ângulo φ , temos:

z = ρ cos ⁡ φ

Essas são as equações que utilizaremos na mudança para coordenadas esféricas. Como em todas as substituições que fazemos, precisamos calcular seu Jacobiano:

J = ∂ x , y , z ∂ ( ρ , θ , φ ) = s e n φ cos ⁡ θ - ρ s e n φ sen ⁡ θ ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ s e n φ sen ⁡ θ ρ s e n φ cos ⁡ θ ρ cos ⁡ φ s e n θ cos ⁡ φ 0 - ρ s e n φ = - ρ 2 s e n φ

J = ρ 2 s e n φ

Memorize essa expressão!

Beleza?

Vamos agora testar essa transformação, afinal, temos que ver se ela funciona, não é? Tomaremos como exemplo x 2 + y 2 + z 2 = 1 , uma esfera de raio 1 .

Fazendo a substituição x = ρ   s e n   φ   c o s   θ , y = ρ   s e n   φ   s e n   θ e z = ρ cos ⁡ φ , teremos:

ρ   s e n   φ   c o s   θ 2 + ρ   s e n   φ   s e n   θ 2 + ρ cos ⁡ φ 2 = 1

ρ 2 s e n 2 φ cos 2 ⁡ θ + ( ρ 2 s e n 2 φ )   s e n 2 θ + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ 2 s e n 2 φ   + ρ 2 cos 2 ⁡ φ = 1

ρ = 1

Pronto, a equação da esfera se resume, agora, a ρ = 1 nas coordenadas esféricas.

Dica: As coordenadas esféricas simplificam superfícies que possuem simetria em relação a um ponto, como esferas e cones.

Importante: Da mesma forma que, nas coordenadas cilíndricas, podíamos encontrar cilindros com bases elípticas, aqui podemos encontrar elipsoides, que são “esferas” com coeficientes de x 2 , y 2 e z 2 diferentes entre si. Você vai, então, fazer o mesmo que tem feito até agora: substituições com coeficientes diferentes, por exemplo:

x = 2 ρ   s e n   φ   c o s   θ , y = 3 ρ   s e n   φ   s e n   θ e z = ρ cos ⁡ φ

Não se esqueça de ajustar o Jacobiano, multiplicando-o por esses coeficientes: J = 2 3 ρ 2 s e n φ !

Exemplo: Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }

Passo 1: O primeiro passo é esboçar a região do enunciado.

Passo 2: Precisamos escrever matematicamente essa região. Como B é limitada por uma esfera e a função a ser integrada possui termos quadráticos, vamos utilizar coordenadas esféricas:

x = ρ   s e n   φ   c o s   θ

y = ρ   s e n   φ   s e n   θ

z = ρ cos ⁡ φ

J = ρ 2 s e n   φ

A região de integração passa a ser, então:

B = { ( ρ , θ , φ ) | 0 ≤ ρ ≤ 1 ; 0 ≤ θ ≤ 2 π ; 0 ≤ φ ≤ π }

Passo 3: Vamos agora substituir os intervalos que encontramos na integral iterada. Sabemos que x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 em coordenadas esféricas. Temos, então:

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 2 3 / 2 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e ρ 3 ρ 2 s e n   φ d ρ   d θ   d φ

Passo 4: Fazendo a substituição ρ 3 = u , temos 3 ρ 2 d ρ = d u . A integral passa a ser:

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 1 e u s e n   φ d u   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ e u u = 0 u = 1   d θ   d φ =

= 1 3 ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   φ ( e - 1 ) d θ   d φ =

Passo 5: Agora, integramos em relação a θ :

= ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   θ θ = 0 θ = 2 π   d φ =

= 2 π ( e - 1 ) 3 ∫ 0 π s e n   φ   d φ =

Passo 6: Finamente, integramos em relação a φ :

= - 2 π ( e - 1 ) 3 cos ⁡ φ 0 π =

= - 2 π e - 1 3 - 1 - - 2 π e - 1 3 =

= 2 π e - 1 3 + 2 π e - 1 3 =   4 π e - 1 3

Bom, vamos ver isso tudo na prática agora! Seguindo o mesmo padrão dos exercícios de mudanças de variáveis: você deve reconhecer a região de integração, fazer a mudança para as coordenadas esféricas, escrever essa região nessas coordenadas (encontrando os intervalos de ρ , θ e φ ) e então reescrever a integral (sem se esquecer do Jacobiano!). Depois, é só integrar!

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Exercício Resolvido #1

James Stewart, Cálculo Vol. 2, tradução da 6ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2010, pp. 957

Calcule ∭ B   e x 2 + y 2 + z 2 3 / 2 d x d y d z , onde B é a bola unitária:

B = { ( x , y , z ) | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1 }