Enunciado

Encontre as assíntotas horizontais e verticais

y = (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2)

Passo 1

Para encontrar a assíntota horizontal, tomaremos o limite da função quando x -> +- oo

underset(x -> +- oo)(lim) (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2) = underset(x -> +- oo)(lim) (2 + ((1)/(x)) - ((1)/(x^2)))/(1 + ((1)/(x)) - ((2)/(x^2))) = (2 + 0 - 0)/(1 + 0 - 0) = 2

Logo, y = 2 é uma assíntota horizontal

Passo 2

Para encontrar a assíntota vertical é muito simples, devemos pensar o seguinte “Para que ponto que quando x se aproxima a função ‘explode’ para infinito” (podem ser um ou mais pontos), ou seja,

underset(x -> a)(lim) (2 x^2 + x - 1)/(x^2 + x - 2) = +- oo

Para a = 1 e a = - 2 a condição de assíntota é satisfeita, pois quando mais próximo de 0 é o denominador, maior será o numerador, ou seja, x^2 + x - 2 -> 0 , ocorre quando x -> 1 e x -> - 2 , logo x = 1 e x = - 2 é uma assíntota vertical.

Note que os valores de a são calculados igualando o denominador a 0 e encontrando os valores de x .

Passo 3

Mostraremos agora uma comprovação gráfica do resultado obtido

Resposta

y = 2 é uma assíntota horizontal

x = 1 e x = - 2 é uma assíntota vertical

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