Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

x = 2 - 5 3 + 2 + 5 3 é racional ou irracional? Justifique.

Passo 1

Como temos raízes cúbicas, vamos elevar tudo ao cubo:

x 3 = 2 - 5 3 + 2 + 5 3 3

x 3 = 2 - 5 3 3 + 3 2 - 5 3 2 2 + 5 3 + 3   2 - 5 3 2 + 5 3 2 + 2 + 5 3 3

x 3 = 2 - 5 + 3   2 - 5 3   2 + 5 3 2 - 5 3 + 2 + 5 3 + 2 + 5

x 3 - 4 = 3   2 - 5 3   2 + 5 3 2 - 5 3 + 2 + 5 3

Passo 2

Porém, note que 2 - 5 3 + 2 + 5 3 = x , e além disso,

2 - 5 3   2 + 5 3 = 2 - 5 2 + 5 3 = 4 - 5 3 = - 1 3 = - 1

Então, obtemos a seguinte equação:

x 3 - 4 = 3 - 1 x

x 3 + 3 x - 4 = 0

Note que x = 1 é uma raiz real dessa equação, então podemos dividir o polinômio x 3 + 3 x - 4 por x - 1 para obter a fatoração:

x 3 + 3 x - 4 = ( x - 1 ) ( x 2 + x + 4 )

Passo 3

Com a fatoração, obtemos que as outras possíveis raízes reais da equação cúbica devem ser obtidas aqui:

x 2 + x + 4 = 0

Porém, veja que o discriminante dessa equação quadrática é negativo, então ela não tem raízes reais. Logo, a única raiz real de   x 3 + 3 x - 4 = 0 é x = 1 .

Mas perceba que x = 2 - 5 3 + 2 + 5 3 deve ser necessariamente uma raiz real dessa equação, pelo modo como a construímos. Ou seja, só podemos ter

2 - 5 3 + 2 + 5 3 = 1

Logo,   x = 2 - 5 3 + 2 + 5 3 é um número racional, pois 1 é racional.

Resposta

Racional

Exercícios de Livros Relacionados

Seja ϵ > 0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais pos
Sejam x , y dois reais quaisquer, com 0 < x < y . Prove y - x 3
Determine uma aproximação por volta, com duas casas casas decimais exa
A afirmação:“para todo real x ≥ 0 , x ≥ x ”é falsa ou verdadeira? Just
Prove que é irracional.(a) 6 (b) 2 + 3