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Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Capítulo 9.2 - Ex. 4

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4 - d x d t = a y ,   d y d t = - b x ;     a > 0 ,   b > 0 ; x 0 = a ,   y 0 = 0 .

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = a y   e   d y d t = - b x

Então d y d x = d y d t d x d t

= - b x a y

Esta equação é separável com:

a y d y = - b x d x

Integrando ambos os lados,

a y 2 2 = - b x 2 2 + c 1

Ou,

a x 2 + b y 2 = 2 c 1

Das condições iniciais fornecidas.

x 0 = a , y 0 = 0

Então, 0 + b a = 2 c .

c = b a 2

Portanto, a solução da equação (1) é b x 2 + a y 2 = a b .

Ou, x 2 a + y 2 b = 1

Passo 2

O sistema de equações fornecido também pode ser escrito como:

x ' y ' = 0 a - b 0 x y … . .   ( 2 )

Vamos tomar como x y = X .

Então nós temos  X ' = 0 a - b 0 X

Passo 3

Tomemos X = ξ e r t .

Então obtemos o sistema algébrico.

- r a - b - r ξ 1 ξ 2 = 0 0 … … ( 3 )

Os autovalores são as raízes da equação.

- r a - b - r = 0

r 2 + a b = 0

Então os autovalores são  r 1 , r 2 = ± a b i .

Passo 4

Agora  r = r 1 = i a b , a equação ( 3 ) fornece:

- i a b a - b - i a b ξ 1 ξ 2 = 0 0

Cada linha gera  i a b ξ 1 = a ξ 2 .

Então o autovetor correspondente é  ξ 1 = a i a b .

Da mesma forma, o autovetor correspondente ao autovalor i a b  é

ξ 2 = ξ 1

= a - i a b

E a segunda solução é x ( 2 ) = a - i a b e - i a b t .

Passo 5

Para encontrar uma solução com valor real, vamos assumir que x 1 t seja

x 1 t = a - i a b e - i a b t

= a - i a b ( cos ⁡ a b t + i sen ⁡ a b t )

= acos ⁡ a b t - a b sen ⁡ a b t + i a   sen ⁡ a b t - a b cos ⁡ a b t

Vamos substituir u t = acos ⁡ a b t - a b sen ⁡ a b t e v t = a   sen ⁡ a b t - a b cos ⁡ a b t .

Agora  W u , v t = a a b ≠ 0 , segue-se que  u ( t )  e  v ( t )  são linearmente independentes e constituem um conjunto fundamental de soluções com valor real.

Então, X = c 1 acos ⁡ a b t - a b sen ⁡ a b t + c 2 a   sen ⁡ a b t - a b cos ⁡ a b t

Ou,

x y = c 1 acos ⁡ a b t - a b sen ⁡ a b t + c 2 a   sen ⁡ a b t - a b cos ⁡ a b t

Passo 6

Usando condições iniciais,

x 0 = a , y 0 = 0

Nós achamos,

a 0 = a c 1 0 + 0 a b c 2

Logo, c 1 = 1 a e c 2 = 0 .

Passo 7

Portanto, x y = a cos ⁡ a b t - b sen ⁡ a b t

Logo, x = a cos ⁡ a b t e y = - b sen ⁡ a b t .

Portanto, os dois conjuntos de soluções são:

x = a cos ⁡ a b t ,   y = - b sen ⁡ a b t  

x 2 a + y 2 b = 1

Passo 8

Agora, as trajetórias deste sistema são:

Para determinar a direção do movimento ao longo das trajetórias, vemos que, para condições iniciais positivas, x aumentará onde y diminuirá.

Resposta

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