Enunciado

Prove que, se uma trajetória começa em um ponto não crítico do sistema:

d x d t =   F x ,   y , d y d t =   G x ,   y

então não pode atingir um ponto crítico ( x 0 ,   y 0 ) em um intervalo de tempo finito.

Sugestão: Suponha o contrário, ou seja, suponha que a solução   x   =   ϕ ( t ) ,   y   =   ψ ( t ) satisfaz ϕ ( a )   =   x 0 ,   ψ ( a )   =   y 0 . Depois use o fato de que x   =   x 0 ,   y   =   y 0 é uma solução do sistema dado que satisfaz a condição inicial x   =   x 0 ,   y   =   y 0   em t   =   a .

Passo 1

Considerando o sistema:

d x d t = F x , y

d y d t = G x , y

Temos que a trajetória começa no ponto não critico do sistema acima.

Nosso objetivo é mostrar que trajetória não pode alcançar o ponto critico ( x 0 ,   y 0 ) em um espaço finito do tempo.

Passo 2

Determinando o ponto critico do sistema, temos:

d x d t = 0

d y d t = 0

E isto segue que:

F x , y = 0

G x , y = 0

Resolvendo x , y = x 0 , y 0 é um ponto critico dado pelo sistema.

Isto é, x = ϕ t ,   y = ψ t é a solução do sistema autônomo dado que satisfaz as condições:

ϕ a = x 0

E

ψ a = y 0

Sobe o ponto critico x 0 , y 0 , x = x 0 , y = y 0 sempre será solução do sistema autônomo que satisfaça x = x 0 , , y = y 0 sobe t = a .

Portanto, se a trajetória começar no ponto critico do sistema , isto alcançara o ponto critico x 0 , y 0 em um finito espaço do tempo.

Bem isto é uma contradição do fato que se a trajetória começar sobe o ponto não critico do sistema, não será possível alcançar os pontos e um finito espaço de tempo.

Passo 3

Portanto, nós mostramos que a trajetória não pode ser alcançada pelos pontos críticos x 0 , y 0 , em um espaço determinado do tempo.

Resposta

Portanto, nós mostramos que a trajetória não pode ser alcançada pelos pontos críticos x 0 , y 0 , em um espaço determinado do tempo

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