Enunciado

Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.

23. f t = t ,         0 ≤ t < 1 1 ,           1 ≤ t < ∞

Passo 1

Beleza, primeiro a gente aplica a transformada na função dada:

L f ( t ) = ∫ 0 ∞ e - s t f t   d t = ∫ 0 1 t e - s t   d t + ∫ 1 ∞ ( 0 ) e - s t   d t

Como a função tem comportamento diferente para dois intervalos, vamos dividir a integral em duas e somar ela para poder cobrir os dois intervalos:

∫ 0 ∞ e - s t f t   d t = ∫ 0 1 t e - s t   d t + ∫ 1 ∞ ( 1 ) e - s t   d t

Passo 2

Vamos primeiro integrar a última integral do lado direito, já que a outra vamos precisar usar integração por partes:

∫ 1 ∞ e - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ - e - s t s A 1

Aplicando os limites de integração:

∫ 1 ∞ e - s t   d t = lim A → ∞ ⁡ - e - s A s + e - s s

Para fazermos com que a exponencial não exploda no infinito precisamos que s > 0 , assim a exponencial tende a zero já que o expoente vai ficar negativo. Sobra o seguinte:

∫ 1 ∞ e - s t   d t = e - s s

Agora vamos fazer a outra integral usando integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Vamos chamar t de u e e - s t de d v , ficamos com:

∫ 0 1 t e - s t   d t = - t e - s t s 1 0 + ∫ 0 1 e - s t s   d t

Fazemos a integral do final:

∫ 0 1 t e - s t   d t = - t e - s t s 1 0 - e - s t s 2 1 0

E com os limites fica:

∫ 0 1 t e - s t   d t = - e - s s + 1 - e - s s 2

Passo 3

Substituindo as duas integrais lá no resultado do Passo 1:

∫ 0 ∞ e - s t f t   d t = - e - s s + 1 - e - s s 2 + e - s s

Resolvendo:

L f ( t ) = 1 - e - s s 2

Resposta

L f ( t ) = 1 - e - s s 2

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Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .6. f t = 0 ,0 ≤ tπ 2 cos ⁡ t ,t ≥ π 2
Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .7.
Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .2. f t = 4 ,0 ≤ t2 0 ,t ≥ 2
Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .3. f t = t ,0 ≤ t1 1 ,t ≥ 1
Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .8.