Enunciado

Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constantes reais.

7. f t = c o s h b t

Passo 1

Vamos aplicar a transformada sobre a função dada:

L c o s h b t = ∫ 0 ∞ e - s t c o s h b t   d t

Usando a dica do enunciado:

∫ 0 ∞ e - s t c o s h b t   d t = 1 2 ∫ 0 ∞ e - s t e b t + e - b t   d t

Fazendo o produto das exponenciais a gente fica com o seguinte:

∫ 0 ∞ e - s t c o s h b t   d t = 1 2 ∫ 0 ∞ e ( b - s ) t + e - s + b t   d t = 1 2 ∫ 0 ∞ e ( b - s ) t   d t + 1 2 ∫ 0 ∞ e - s + b t   d t

Passo 2

Agora a gente integra tudo:

∫ 0 ∞ e - s t c o s h b t   d t = lim A → ∞ ⁡ 1 2 ( b - s ) e ( b - s ) t A 0 - 1 2 ( b + s ) e - ( b + s ) t A 0

O limite aparecer por conta do limite superior da integral tender para infinito, o que torna a integral imporia, então a gente substitui o termo superior por A e aplicamos o limite.

Precisamos impor uma condição para s , para que quando t cresça infinitamente a exponencial tenda para 0, mas para isso, cada exponencial vai precisar de uma condição. Para a primeira fica o seguinte:

b - s < 0

s > b

E para a segunda:

b + s > 0

s > - b

Juntando as duas:

s > | b |

Passo 3

Agora aplicamos os limites das integrais:

∫ 0 ∞ e - s t c o s h b t   d t = lim A → ∞ ⁡ 1 - e b - s A 2 ( s - b ) + 1 - e - ( b + s ) A 2 ( s + b )

Como as exponenciais caem a zero quando aplicamos o limite pela nossa condição:

L c o s h b t = 1 2 ( s - b ) + 1 2 ( s + b ) = s s 2 - b 2

Essa vai ser nossa transformada.

Resposta

L c o s h b t = s s 2 - b 2

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