Enunciado

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  1. Se f t = t 2 - t , encontre f ' ( t )
  2. Verifique se sua resposta na parte (a) foi razoável comparando os gráficos de f e f ' .

Passo 1

  1. Pela definicação, sabemos que
  2. f ' t = lim h → 0 ⁡ f t + h - f t h

    Então,

    f ' t = lim h → 0 ⁡ t + h 2 - t + h - t 2 - t h = lim h → 0 ⁡ t 2 + 2 t h + h 2 - t + h 1 2 - t 2 - t 1 2 h = = lim h → 0 ⁡ 2 t h + h 2 - t + h 1 2 - t 1 2 h = lim h → 0 ⁡ 2 t + h - lim h → 0 ⁡ t + h + t h

    f ' t = 2 t + lim h → 0 ⁡ t + h + t h ⋅ t + h - t t + h - t = 2 t - lim h → 0 ⁡ t + h - t h ⋅ t + h + t = 2 t - lim h → 0 ⁡ 1 t + h + t = 2 t - 1 2 t  

    Passo 2

  3. Esboçando os gráficos, ficamos com f t → r o x o   e   f ' t → p r e t o

Observe que f ’ ( t )   =   0 quando f tem uma tangente horizontal, f ’ ( t ) é positivo quando as tangentes têm inclinação positiva e f ’ ( t ) é negativo quando as tangentes têm inclinação negativa. Logo é uma aproximação razoável.

Resposta

  1. f ' t = 2 t - 1 2 t  

  2. Em comparação com o gráfico a aproximação foi razoável

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