Enunciado

A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial

- y ' ' = f x

pode ser escrita na forma

y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Em que c 1 e c 2 são constantes arbitrárias.

B. Suponha que y   = ϕ ( x ) também satisfaz as condições de contorno   y ( 0 )   =   0 , y ( 1 )   =   0 . Mostre que, nesse caso,

c 1 = 0 ,             c 2 = ∫ 0 1 1 - s f s d s

C. Mostre que, sob as condições dos itens (a) e (b), ϕ ( x ) pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 x s 1 - x f s d s + ∫ x 1 x 1 - s f s d s

D. Definindo

G x ,   s = s 1 - x ,           0 ≤ s ≤ x ,   x 1 - s ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Mostre que a solução pode ser escrita na forma

ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Passo 1

L e t r a   C :

Ora, sabemos que...

ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s

Substituindo então as condições do item B :

ϕ x = 0 + x ∫ 0 1 1 - s f s d s - ∫ 0 x x - s f s d s     →

ϕ x = ∫ 0 1 x 1 - s f s d s - ∫ 0 x x - s f s d s     →

Agora vamos pensar no seguinte, se consideramos que x varia de 0 a 1 nessa equação, podemos “quebrar” essa primeira integral em duas:

ϕ x = ∫ 0 x x 1 - s f s d s + ∫ x 1 x 1 - s f s d s - ∫ 0 x x - s f s d s     →

Uma indo de 0 a x e outra de x até 1 , percebe?

A primeira e a última integral, como variam de 0 a   x podem ser colocadas dentro de uma única integral...

ϕ x = ∫ 0 x x 1 - s f s - x - s f s d s   + ∫ x 1 x 1 - s f s d s →

Multiplicando esses termos dos colchetes...

ϕ x = ∫ 0 x x f s - x s f s - x f s + s f s d s   + ∫ x 1 x 1 - s f s d s →

ϕ x = ∫ 0 x - x s f s + s f s d s   + ∫ x 1 x 1 - s f s d s →

E agora rearranjando isso...

ϕ x = ∫ 0 x s 1 - x f s d s   + ∫ x 1 x 1 - s f s d s

Que de fato prova a validade do nosso item c .

Resposta

Questão de demonstração.

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