Enunciado

Considere o problema

X ' ' + λ X = 0 ,   X ' ( 0 ) = 0 ,   X ' ( L ) = 0 .

Seja λ = μ 2 , em que μ = v + i σ , com ν e σ reais. Mostre que, se σ ≠ 0 , então a única solução das Eqs. (i) é a solução trivial X ( x ) = 0 .

Sugestão: Use um argumento semelhante ao do Problema 23 da Seção 10.1.

Passo 1

A solução geral da EDO é:

X ( x ) = k 1 e i μ x + k 2 e - i μ x

E as condições de contorno são y ' ( 0 ) = y ' ( L ) = 0 , chegando em:

μ k 1 - μ k 2 = 0

μ k 1 e i μ L + μ k 2 e - i μ L = 0

Se μ = 0 , a solução da EDO é:

X = A x + B

Se μ ≠ 0 , temos

e i μ L - e - i μ L = 0

Se μ = v + i σ , podemos escrever a equação de cima como e σ L e - i v L - e - σ L e i v L = 0

E chegamos em:

e σ L = e - σ L ⇒ σ = 0   &   μ = n π L ,   n   ∈   I

Resposta

e σ L = e - σ L ⇒ σ = 0   &   μ = n π L ,   n   ∈   I

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