Enunciado

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,               ( i )

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 ,                 β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0             i i

tem uma solução em termos de uma função de Green

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s                     i i i

Desde que λ = 0 não seja um autovalor de L y = λ y sujeita às condições de contorno i i . Além disso, G x ,   s é dada por

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                     i v

em que y 1 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   0 , y 2 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   1 , e W ( y 1 ,   y 2 ) é o wronskiano de y 1 e y 2 .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que p ( x ) W y 1 ,   y 2 ( x ) é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que G ( x ,   s )   =   G ( s ,   x ) .

(e) Verifique se y   = ϕ ( x ) na Eq. (iii), com G ( x ,   s ) dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Passo 1

L e t r a   D :

No item c vimos que de fato p ( x ) W y 1 ,   y 2 ( x ) sempre será uma constante que vou chamar aqui de - 1 / k para simplificar a notação. Então...

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                   →

G x ,   s = k y 1 s y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   k y 1 x y 2 s ,               x ≤ s ≤ 1                

De fato dá uma enxugada bonita na equação né?

Passo 2

Perceba que essas duas definições de G x ,   s são perfeitamente simétricas. E, além disso, x e s variam ambos dentro do intervalo 0 ,   1 , e são ambos variáveis de modo que podemos perfeitamente chamar s de x e x de s , sem alterar G x ,   s de fato:

G s ,   x = k y 1 x y 2 s ,               0 ≤ x ≤ s   k y 1 s y 2 x ,               s ≤ x ≤ 1                

Viu só! Basicamente não mudou nada! Só mudaram de posição as duas funções. x e s pode até terem trocado no intervalo de definição também, mas na verdade tanto faz, porque ambos são desconhecidos e variam no dentro do mesmo 0 ,   1 . Então a gente conclui que:

G x ,   s = G s ,   x

Resposta

Questão de demonstração.

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere uma barra uniforme de comprimento L com distribuição inicial de temperatura dada por f ( x ) ,0 ≤ x ≤ L . Suponha que a temperatura na extremidade x = 0 é mantida a 0°C, enquanto a extremida
Suponha que as condições são como nos Problemas 15 e 16, exceto que a condição de contorno em x = 0 é u(0, t) = 40.Encontre a temperatura u(x, t).Faça o gráfico de u em função de x para diversos valor
Considere o problema α ² u x x = u t ,0xL ,t0 ; ² u ( 0 , t ) = 0 ,u x ( L , t ) + γ u ( L , t ) = 0 ,t0 ; u ( x , 0 ) = f ( x ) ,0≤x≤L Seja u(x, t) = X(x)T(t) e mostre que X ' ' + λ X = 0 ,X ( 0 ) =
Na barra do Problema 15, suponha que L = 30 ,q u eα ² = 1 ² e que a distribuição inicial de temperatura é f(x) = 30 – x para 0 Encontre a temperatura u(x, t).Faça o gráfico de u em função de x para di
A extremidade direita de uma barra de comprimento a com condutividade térmica k 1 e área de seção reta A 1 , é juntada à extremidade esquerda de uma barra com condutividade térmica k 2 e área de seção