30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

L[y] = -[p(x)y']' + q(x)y = f(x), (i)

α_1 * y(0) + α_2 * y'(0) = 0, β_1(1) + β_2 * y'(1) = 0 (ii)

tem uma solução em termos de uma função de Green

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s                     i i i

Desde que lambda = 0 não seja um autovalor de L[y] = lambda \* y sujeita às condições de contorno (ii) . Além disso, G(x, s) é dada por

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                     i v

em que y_1 é uma solução de L[y] = 0 satisfazendo a condição de contorno em x = 0 , y_2 é uma solução de L[y] = 0 satisfazendo a condição de contorno em x = 1 , e W(y1, y2) é o wronskiano de y_1 e y_2 .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que p(x) W(y_1, y_2) (x) é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que G(x, s) = G(s, x) .

(e) Verifique se y = phi(x) na Eq. (iii), com G(x, s) dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Passo 1

L e t r a   D :

No item c vimos que de fato p ( x ) W y 1 ,   y 2 ( x ) sempre será uma constante que vou chamar aqui de - 1 / k para simplificar a notação. Então...

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                   →

G x ,   s = k y 1 s y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   k y 1 x y 2 s ,               x ≤ s ≤ 1                

De fato dá uma enxugada bonita na equação né?

Passo 2

Perceba que essas duas definições de G x ,   s são perfeitamente simétricas. E, além disso, x e s variam ambos dentro do intervalo 0 ,   1 , e são ambos variáveis de modo que podemos perfeitamente chamar s de x e x de s , sem alterar G x ,   s de fato:

G s ,   x = k y 1 x y 2 s ,               0 ≤ x ≤ s   k y 1 s y 2 x ,               s ≤ x ≤ 1                

Viu só! Basicamente não mudou nada! Só mudaram de posição as duas funções. x e s pode até terem trocado no intervalo de definição também, mas na verdade tanto faz, porque ambos são desconhecidos e variam no dentro do mesmo 0 ,   1 . Então a gente conclui que:

G x ,   s = G s ,   x

Resposta

Questão de demonstração.

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