Enunciado

6 - (d x)/(d t) = 1 + 2 y , (d y)/(d t) = 1 - 3 x^2

Passo 1

As equações dadas são:

(d x)/(d t) = 1 + 2 y e (d y)/(d t) = 1 - 3 x^2

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

(d x)/(d t) = 0 = (d y)/(d t)

Isso é,

1 + 2 y = 0 -> y = - (1)/(2) e 1 - 3 x^2 = 0 -> x = +- (1)/(sqrt(3))

Assim, existem dois pontos críticos  ( - (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2) ) e ( (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2) ) .

Passo 2

b) Use CAS, para esboçar o campo de direção e o retrato de fase do sistema.

Primeiro carregue o pacote, com (DEtools);

Entrada Maple:

Com a saída de bordo:

Passo 3

c) O objetivo é determinar o tipo e a estabilidade de cada um dos seguintes pontos críticos.

  ( - (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2) ) e ( (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2) ) .

No diagrama acima, algumas curvas de solução são concêntricas com o ponto  ((1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) .

Portanto, este ponto é tratado como o centro do retrato de fase e é estável.

E, o ponto  (- (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) é um ponto de sela e é instável.

Observe que há uma separatriz mostrada na curva de cor azul que sai do ponto de sela como  t -> - oo , circula em torno do centro e retorna ao ponto de sela como  t -> + oo .

No lado direito da separatriz, as trajetórias estão ao redor do centro  ((1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) .

E no lado esquerdo da separatriz, as trajetórias são ilimitadas no ponto de equilíbrio.

Passo 4

d) A bacia de atração é o conjunto de todos os pontos  P em  x y plano que possui a propriedade de que uma trajetória que começa  P e se aproxima do ponto crítico como  t -> oo .

O esboço da base de atração para o ponto assintoticamente estável  ((1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) é mostrado abaixo.

No esboço acima da bacia de atração, observe que as curvas da solução estão circundadas pelo ponto estável  ((1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) .

Resposta

a) existem dois pontos críticos  ( - (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2) ) e ( (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2) ) .

b)

c) O ponto ((1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) é tratado como o centro do retrato de fase e é estável.

O ponto  (- (1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) é um ponto de sela e é instável.

d)

No esboço acima da bacia de atração, observe que as curvas da solução estão circundadas pelo ponto estável  ((1)/(sqrt(3)) , - (1)/(2)) .

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