6 - dx/dt = 1 + 2y, dy/dt = 1 - 3x^2

Passo 1

As equações dadas são:

d x d t = 1 + 2 y   e   d y d t = 1 - 3 x 2

O objetivo é encontrar os pontos críticos para o sistema especificado.

Os pontos críticos são encontrados resolvendo as equações algébricas:

d x d t = 0 = d y d t

Isso é,

1 + 2 y = 0 → y = - 1 2 e 1 - 3 x 2 = 0 → x = ± 1 3

Assim, existem dois pontos críticos  ( - 1 3 , - 1 2 ) e ( 1 3 , - 1 2 ) .

Passo 2

b) Use CAS, para esboçar o campo de direção e o retrato de fase do sistema.

Primeiro carregue o pacote, com (DEtools);

Entrada Maple:

Com a saída de bordo:

Passo 3

c) O objetivo é determinar o tipo e a estabilidade de cada um dos seguintes pontos críticos.

  ( - 1 3 , - 1 2 ) e ( 1 3 , - 1 2 ) .

No diagrama acima, algumas curvas de solução são concêntricas com o ponto  1 3 , - 1 2 .

Portanto, este ponto é tratado como o centro do retrato de fase e é estável.

E, o ponto  - 1 3 , - 1 2 é um ponto de sela e é instável.

Observe que há uma separatriz mostrada na curva de cor azul que sai do ponto de sela como  t → - ∞ , circula em torno do centro e retorna ao ponto de sela como  t → + ∞ .

No lado direito da separatriz, as trajetórias estão ao redor do centro  1 3 , - 1 2 .

E no lado esquerdo da separatriz, as trajetórias são ilimitadas no ponto de equilíbrio.

Passo 4

d) A bacia de atração é o conjunto de todos os pontos  P em  x y plano que possui a propriedade de que uma trajetória que começa  P e se aproxima do ponto crítico como  t → ∞ .

O esboço da base de atração para o ponto assintoticamente estável  1 3 , - 1 2 é mostrado abaixo.

No esboço acima da bacia de atração, observe que as curvas da solução estão circundadas pelo ponto estável  1 3 , - 1 2 .

Resposta

a) existem dois pontos críticos  ( - 1 3 , - 1 2 ) e ( 1 3 , - 1 2 ) .

b)

c) O ponto 1 3 , - 1 2 é tratado como o centro do retrato de fase e é estável.

O ponto  - 1 3 , - 1 2 é um ponto de sela e é instável.

d)

No esboço acima da bacia de atração, observe que as curvas da solução estão circundadas pelo ponto estável  1 3 , - 1 2 .

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