Enunciado

10- Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto (0,1) e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo 0x no ponto de abscissa x+1.

Passo 1

Fala galera! Primeiro vamos tentar cumprir a segunda condição, pois assim poderemos ter uma ideia de como a função se comporta.

A equação da reta tangente no ponto a ,   f ( a )   é:

y - f ( a ) = f ' a x - a

y = f ' a x - a + f ( a )

A segunda condição do problema determina que a reta que passa pelo ponto a , f a   também passa pelo ponto ( a + 1 ,   0 )

Daí, vamos substituir o segundo ponto na equação da reta:

0 - f a = f ' a a + 1 - a = f ' a

Por isso, f ' a = - f a é a equação da reta tangente.

Passo 2

Da relação acima, podemos perceber que a função é da forma f x = k e α x

Logo, como a função passa pelo ponto (0,1), temos:

1 = k . e α . 0 = k . 1 = k

Daí, f x = e - x .

Resposta

y = e - x

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