Enunciado

Encontre a primitiva mais geral da função. (Verifique sua resposta derivando.)

f x = x ( 2 - x ) 2

Passo 1

E aí, galerinha! 

Nesse problema queremos obter a primitiva da função

f x = x 2 - x 2

Parece complicado?

A maneira mais simples de resolver esse problema é desenvolver essa função para um polinômio. Primeiro calculamos o produto notável e depois a distributiva:

f x = x 2 - x 2

f x = x 4 - 4 x + x 2

f x = x 3 - 4 x 2 + 4 x

Fizemos isso porque com a expressão nessa forma, a gente pode aplicar o método inverso da regra da potência para cada termo:

x a → x a + 1 a + 1

Veja só! 

Passo 2

Agora vamos integrar essa função. Por linearidade, a integral da soma é a soma das integrais:

F x = ∫ f d x = ∫ x 3 - 4 x 2 + 4 x d x

F x = ∫ x 3 d x - 4 ∫ x 2 d x + 4 ∫ x d x

Lembrando que ∫ x n d x = x n + 1 / ( n + 1 ) , vamos ter

F x = x 4 4 - 4 x 3 3 + 4   x 2 2

F x = x 4 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2

E não podemos esquecer da constante de integração!!!

F x = x 4 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2 + C

Tranquilo até aqui? 

Passo 3

Agora vamos verificar se derivando essa primitiva chegamos na função f

F ' = x 4 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2 + C '

F ' = 4 x 4 - 1 4 - 4 3   3 x 3 - 1 + 2 ⋅ 2 x 2 - 1 + 0

F ' = x 3 - 4 x 2 + 4 x

Botando x em evidência

F ' = x x 2 - 4 x + 4

O termo entre parênteses é um quadrado perfeito

F ' = x x - 2 2

O que achou? Responde Aí! 

Resposta

F x = x 4 4 - 4 3 x 3 + 2 x 2 + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique em poucas palavras.
Qual dos gráficos a seguir mostra a solução do problema de valor inicial d y d x = 2 x ,y = 4q u a n d ox = 1 ? Justifique sua resposta.
Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique em poucas palavras.
Diga se cada uma das fórmulas está certa ou errada e justifique em poucas palavras.
Certo ou errado? Justifique em poucas palavras.