Enunciado

Responda à questão 31 se uma parte estiver dobrada para formar um quadrado e outra para formar um círculo.

Passo 1

Vamos relembrar o que essa questão falava:

Um fio com B metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada para formar um triangulo equilátero e a outra para forma um círculo. Se a soma das áreas delimitadas por cada parte for um mínimo, qual será o comprimento de cada parte?

Então, tínhamos um fio de comprimento B

Cortamos ao meio e fizemos duas figuras com cada metade

Na resolução anterior, o livro garantiu que a soma de suas áreas era um ponto de Mínimo numa função de Área. E ele queria que relacionássemos os perímetros de cada objeto, usando B como fator.

Bem! Temos que ver se essa função de área vai também nos retornar um valor de mínimo ao otimizar. Então vamos resolver isso!

Passo 2

Vamos então ver o Quadrado. Se chamarmos um lado seu de x . Então seu Perímetro vai ser

P 1 = 4 x

Com uma área de

A 1 = x ²

Agora já o círculo tem perímetro

P 2 = 2 π r

E área

A 2 = π r ²

Então podemos relacionar esses perímetros com B

B = P 1 + P 2  

B = 4 x + 2 π r

E a área total vai ser

A = x ² +   π r ²

OPA!!! Temos 2 variáveis para otimizar. Isso é um problema. Estamos em calculo 1, então só podemos usar uma variável, porque só temos ferramentas para isso agora. Então tá...Podemos então usar a relação de B, e fazer r como função de x   e B

B = 4 x + 2 π r

r = B - 4 x 2 π    

Otimo! Agora podemos continuar.

A =   x ² +   π r ²

A =   x ² +   π B - 4 x 2 π     ²

Passo 3

Agora só nos resta otimizar.

Lembra que para fazer isso temos que derivar e igualar a zero ?

d A d x = 0  

Beleza. Então vamos meter a mão na massa.

d A d x =   2 x + 1 4 π   .   - 8 B - 4 x

2 x + 1 4 π   .   - 8 B - 4 x = 0

2 x =   2 π   B - 4 x  

x = 1 π ( B - 4 x )

x     1 + 4 π   = B π

x = B 4 + π  

Quase acabando. Vamos só conferir se em um ponto de mínimo. Isso quer dizer que a segunda derivada tem que ser positiva nesse ponto.

d ² A d x ² = 2 + 8 π

Esse valor é positivo. Então estamos realmente num ponto mínimo.

Agora podemos substituir nosso valor de X nos Perímetros das nossas figuras

P 1 = 4 x

P 1 = 4 B 4 + π   m

P 2 = 2 π r

P 2 = 2 π B - 4 x 2 π

P 2 = 2 π B - 4 B 4 + π 2 π

Vamos arrumar esse P 2 , está muito bagunçado

P 2 =   B - 4 B 4 + π

P 2 = B     1 - 4 4 + π  

P 2 = π 4 + π B       m  

Beleza terminamos por aqui. Te encontro na próxima resolução. Até mais : )

Resposta

P 1 = 4 B 4 + π   m

P 2 =   π 4 + π B       m  

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