Enunciado

Um fio com B metros de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada para formar um triangulo equilátero e a outra para forma um círculo. Se a soma das áreas delimitadas por cada parte for um mínimo, qual será o comprimento de cada parte?

Passo 1

Eu não sei você, mas a primeira vez que li esse enunciado ele me pareceu bem confuso. Rsrs

Vamos então traduzir:

Tínhamos um fio de comprimento B

Cortamos ao meio e fizemos duas figuras com cada metade

E que se somarmos suas áreas era um ponto de Mínimo numa função de Área.

Começou a fazer sentido agora? Show!!!

Agora ele quer que relacionemos os perímetros de cada objeto, usando B como fator.

Então vamos resolver isso

Passo 2

Vamos então ver o Triangulo equilátero. Se chamarmos um lado seu de x . Então seu Perímetro vai ser

P 1 = 3 x

Com uma área de

A 1 = x 2 3 4

Agora já o círculo tem perímetro

P 2 = 2 π r

E área

A 2 = π r ²

Então podemos relacionar esses perímetros com B

B = P 1 + P 2  

B = 3 x + 2 π r

E a área total vai ser

A =   x 2 3 4 +   π r ²

OPA!!! Temos 2 variáveis para otimizar. Isso é um problema. Estamos em calculo 1, então só podemos usar uma variável, porque só temos ferramentas para isso agora. Então tá...Podemos então usar a relação de B, e fazer r como função de x   e B

B = 3 x + 2 π r

r = B - 3 x 2 π    

Otimo! Agora podemos continuar.

A =   x 2 3 4 +   π r ²

A =   x 2 3 4 +   π B - 3 x 2 π     ²

Passo 3

Agora só nos resta otimizar.

Lembra que para fazer isso temos que derivar e igualar a zero ?

d A d x = 0  

Beleza. Então vamos meter a mão na massa.

d A d x =   x 3 2 + 1 4 π   .   - 6 B - 3 x

x 3 2 + 1 4 π   .   - 6 B - 3 x = 0

x 3 2 =   3 2 π   B - 3 x  

x = 3 3 π   B - 3 x

x = B 3 π - 3 3 π x

1 +   3 3 π   x =   B 3 π

x =   3 π + 3   3   B

Quase acabando. Vamos só conferir se achamos a função de área certa. O problema disse que era um ponto de mínimo. Isso quer dizer que a segunda derivada tem que ser positiva nesse ponto.

d ² A d x ² = 3 2 + 18 4 π

Esse valor é positivo. Então estamos realmente num ponto mínimo.

Agora podemos substituir nosso valor de X nos Perímetros das nossas figuras

P 1 = 3 x

P 1 = 3   3 π + 3   3   B   m

P 2 = 2 π r

P 2 = 2 π B - 3 x 2 π

P 2 = 2 π B - 3 3 π + 3   3   B 2 π

Vamos arrumar esse P 2 , está muito bagunçado

P 2 =   B - 3 3 π + 3   3   B

P 2 = B     1 - 3 3 π + 3   3  

P 2 = π π + 3 3 B     m  

Beleza terminamos por aqui. Te encontro na próxima resolução. Até mais : )

Resposta

P 1 = 3   3 π + 3   3   B   m

P 2 = π π + 3 3 B     m  

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