Enunciado

102. a) Quantas derivadas parciais de n -ésima ordem têm uma função de duas variáveis?

b) Se essas derivadas parciais forem contínuas, quantas delas podem ser distintas?

c) Responda a parte a) da questão para uma função de três variáveis.

Passo 1

a) Então galera, se estivermos derivando a função n vezes, então existem duas possíveis escolhas de variável a cada derivação (uma vez que, de acordo com o enunciado, a função possui 2 variáveis). Sendo assim, isso nos dá 2 n derivadas de n -ésima ordem possíveis.

Passo 2

b) Pelo Teorema de Clairaut, temos que se as derivadas forem contínuas, então a ordem da diferenciação não importa, saca só:

f x y = f y x

f x x y = f y x x = f x y x

Dessa forma, temos que todas as derivadas de n -ésima ordem que são derivadas k vezes em relação a x e n - k vezes em relação a y são completamente iguais! Sendo assim, já que k varia de 0 a n , então teremos n + 1 derivadas distintas!

Passo 3

c) Utilizando o mesmo raciocínio da letra a), para três variáveis teremos agora três possíveis escolhas de variável a cada derivação. Sendo assim, isso nos dá 3 n derivadas de n -ésima ordem possíveis.

Resposta

a) 2 n

b) n + 1

c) 3 n

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