Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 , o n d e   f x = x + 1     s e   x ≥ 1 2 x     s e   x < 1

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Queremos calcular, caso exista, o seguinte limite:

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 , o n d e   f x = x + 1     s e   x ≥ 1 2 x     s e   x < 1

Para isso devemos ter:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = L

Ou seja, nossos limites laterais deverão ser iguais!

Passo 2

Vamos começar calculando o limite lateral da direita:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1

Temos aqui na expressão do limite que como ele quer x tendendo a 1 pela direita, vamos pegar a condição de x ≥ 1 de f x e substituir no limite:

f x = x + 1

f 1 = x + 1 = 1 + 1 = 2

Então:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x + 1 - 2 x - 1 = lim x → 1 + ⁡ x - 1 x - 1 = 1

Passo 3

Agora com x tendendo a 1 pela esquerda vamos pegar a condição de x < 1 de f x e substituir no limite:

f x = 2 x

f 1 = 2 x = 2 ∙ 1 = 2

lim x → 1 ⁻ ⁡ f x - f 1 x - 1 = lim x → 1 ⁻ ⁡ 2 x - 2 x - 1 = lim x → 1 ⁻ ⁡ 2 x - 1 x - 1 = lim x → 1 ⁻ ⁡ 2 = 2

Passo 4

Temos então que lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 não existe, pois:

lim x → 1 + ⁡ f x - f 1 x - 1 ≠ lim x → 1 - ⁡ f x - f 1 x - 1 = L

Resposta

lim x → 1 ⁡ f x - f 1 x - 1 não existe

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