Enunciado

11. Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região "triangular" limitada pelo eixo x, pela reta x = π / 3 e pela curva y = tan ⁡ x no primeiro quadrante em torno do eixo x.

Passo 1

Vamos desenhar a função tangente de 0 até π / 3 , para podermos enxergar o que estamos calculando:

Precisamos calcular, então, o volume do sólido gerado pela revolução desse “triângulo”.

Passo 2

Para calcular o volume vamos usar o método do disco, em que a função f x = tg ⁡ x vai ser igual ao raio

R x = tg ⁡ x

A área desse disco será igual a

A x = π R x 2

A x = π tg ⁡ x 2

Agora é só aplicar na fórmula

V = ∫ a b A x d x

Iremos integrar a função de x = 0 até x = π / 3 :

V = ∫ 0 π / 3 π tg ⁡ x 2 d x

Vamos usar a identidade trigonométrica

t g 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

e reescrever a equação:

V = π ∫ 0 π / 3 sec 2 ⁡ x - 1 d x

Integral de 1 é x e a integral de sec 2 ⁡ x é tg ⁡ x , então o volume fica:

V = π tg ⁡ x - x 0 π / 3

V = π tg ⁡ π 3 - π 3 - π tg ⁡ 0 - 0

V = π tg ⁡ π 3 - π 3 - π tg ⁡ 0 - 0

V = π 3 - π 3

V = π 3 - π 2 3

Resposta

V = π 3 - π 2 3

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