Enunciado

Encontre o volume do sólido resultante se a região sob a curva

y = 1 x 2 + 3 x + 2

de x = 0 até x = 1 for girada em torno do:

a) eixo x ;

Passo 1

Precisamos encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo x . Assim,

V = ∫ a b π r 2 d x

Portanto,

V = π ∫ 0 1 1 x 2 + 3 x + 2 2 d x

Podemos fatorar o denominador em x 2 + 3 x + 2 = ( x + 1 ) ( x + 2 ) , de modo que

V = π ∫ 0 1 1 x + 2 2 x + 1 2 d x

Vamos usar frações parciais para calcular essa integral!

Passo 2

Fazendo a decomposição:

1 x + 2 2 x + 1 2 = A x + 2 + B x + 2 2 + C x + 1 + D x + 1 2

Assim,

A x + 2 x + 1 2 + B x + 1 2 + C x + 1 x + 2 2 + D x + 2 2 = 1

Portanto,

A + C x 3 + 4 A + B + 5 C + D x 2 + 5 A + 2 B + 8 C + 4 D x + 2 A + B + 2 C + 4 D = 1

De modo que

A + C = 0 4 A + B + 5 C + D = 0 5 A + 2 B + 8 C + 4 D = 0 2 A + B + 2 C + 4 D = 1

Resolvendo o sistema, obtemos A = 2 / 5 , B = 1 / 5 , C = - 2 / 5 e D = 1 / 5 . Logo,

∫ 0 1 1 x + 2 2 x + 1 2 d x = 1 5 ∫ 0 1 2 x + 2 + 1 x + 2 2 - 2 x + 1 + 1 x + 1 2 d x

Portanto

∫ 0 1 1 x + 2 2 x + 1 2 d x = 1 5 2 ln ⁡ x + 2 - 1 x + 2 - 2 ln ⁡ x + 1 - 1 x + 1 0 1

Assim,

∫ 0 1 1 x + 2 2 x + 1 2 d x = 1 5 2 ln ⁡ 3 - 1 3 - 2 ln ⁡ 2 - 1 2 - 2 ln ⁡ 2 + 1 2 + 1

Por fim,

∫ 0 1 1 x + 2 2 x + 1 2 d x = 1 5   2 3 + 2 ln ⁡ 3 4

Portanto,

V = π 5   2 3 + 2 ln ⁡ 3 4

Resposta

π 5   2 3 + 2 ln ⁡ 3 4

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33. Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região do exercício 32.