Enunciado

1-10. Esboce o gráfico de F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t onde

2. f (t) = {[[t , s e |t| <= 1],[0 , s e |t| > 1]])

Passo 1

Como a função f ( t ) é definida por partes, a integral também será, por isso devemos analisar cada expressão que essa integral pode assumir dependendo dos casos (os casos são definidos pelas restrições em t que ditam a lei a função f ( t ) ).

Caso 1: x < - 1

Nesse caso, temos que int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^x 0 d t

Caso 2: - 1 < x < 1

Nesse caso, temos que int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^x t d t

Caso 3: x >= 1

Nesse caso, temos que int_(- oo)^x f ( t ) d t = int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^1 t d t int_1^x 0 d t

Desta forma, nossa função será definida por:

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = {[[int_(- oo)^x 0 d t , s e x < 1],[int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^x t d t , s e - 1 <= x <= 1],[int_(- oo)^(- 1) 0 d t + int_(- 1)^1 t d t + int_1^x 0 d t , s e 1 < x]])

Calculando as integrais de cada parte da função temos:

F (x) = int_(- oo)^x f ( t ) d t = {[[0 , s e x < 1],[(x^2)/(2) - (1)/(2) , s e - 1 <= x <= 1],[0 , s e 1 < x]])

Agora basta esboçar cada parte de F ( x ) , em um único gráfico. A primeira e terceira partes definem retas horizontais e a segunda parte define uma parábola com vértice em ( 0 , (1)/(2) ) :

Resposta

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