1-10. Esboce o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t onde

2. f t = t ,       s e   t ≤ 1 0 ,       s e   t > 1

Passo 1

Como a função f ( t ) é definida por partes, a integral também será, por isso devemos analisar cada expressão que essa integral pode assumir dependendo dos casos (os casos são definidos pelas restrições em t que ditam a lei a função f ( t ) ).

Caso 1: x < - 1

Nesse caso, temos que ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ x 0 d t

Caso 2: - 1 < x < 1

Nesse caso, temos que ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 x t d t

Caso 3: x ≥ 1

Nesse caso, temos que ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 1 t d t ∫ 1 x 0 d t

Desta forma, nossa função será definida por:

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ x 0 d t ,       s e   x < 1 ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 x t d t ,       s e - 1 ≤ x ≤ 1 ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 1 t d t + ∫ 1 x 0 d t ,       s e   1 < x

Calculando as integrais de cada parte da função temos:

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = 0 ,       s e   x < 1 x 2 2 - 1 2 ,       s e - 1 ≤ x ≤ 1 0 ,       s e   1 < x

Agora basta esboçar cada parte de F ( x ) , em um único gráfico. A primeira e terceira partes definem retas horizontais e a segunda parte define uma parábola com vértice em ( 0 , 1 2 ) :

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados