Esboce o gráfico de

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

onde

f t = 1 t - 2 2 s e   t ≤ 1 1 t s e   t > 1

Passo 1

Primeiramente, vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em duas etapas, para x ≤ 1   e x > 1 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x ≤ 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ x 1 t - 2 2   d t

= lim A → - ∞ ⁡ ∫ A x 1 t - 2 2   d t

Fazendo a substituição

u = t - 2 d u = d t

E os limites

u ( A ) = A - 2 u x = x - 2

Então

lim A → - ∞ ⁡ ∫ A x 1 t - 2 2   d t = lim A → - ∞ ⁡ ∫ A - 2 x - 2 u - 2   d u

= lim A → - ∞ ⁡ - 1 u A - 2 x - 2 = lim A → - ∞ ⁡ - 1 x - 2 + 1 A - 2

= - 1 x - 2

Para o caso particular x = 1

∫ - ∞ 1 1 t - 2 2   d t = - 1 1 - 2 = - 1 - 1 = 1

Se x > 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ 1 1 t - 2 2   d t + ∫ 1 x 1 t   d t

= 1 + ln ⁡ t 1 x = 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ 1

= 1 + ln ⁡ x

Podemos então definir a função como

F x = - 1 x - 2 s e   x ≤ 1 1 + ln ⁡ x s e   x > 1

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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