Enunciado

Calcule d z d t pelos dois processos descritos no exemplo 2 .

b) z = x 2 + 3 y 2 , x = s e n ( t ) , y = c o s ( t )

Passo 1

Bora lá, galera, vamos calcular essa derivada das duas formas. A primeira que ele mostrou pra gente é substituindo o x e o y direto na expressão de z , e depois derivar em t , assim:

z = x 2 + 3 y 2

Substituindo,

z = s e n 2 t + 3 cos 2 ⁡ ( t )

Derivando (sem esquecer da regrinha da cadeia!)

d z d t = d d t s e n 2 t + 3 c o s 2 t

Separando:

d z d t = d d t s e n 2 t + d d t 3 cos 2 ⁡ t

Vamos obter:

d z d t = 2 s e n t c o s t + 3 c o s t - s e n t

Arrumando a casa:

d z d t = - 4 s e n t c o s ( t )

Passo 2

Beleza, agora vamos pro outro método, o da regra da cadeia direto! A expressão dela é assim:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t  

Vamos calcular cada parcelinha separado! Primeiro as derivadas parciais:

∂ z ∂ x = ∂ ∂ x x 2 + 3 y 2 = 2 x

∂ z ∂ y = ∂ ∂ y ( x 2 + 3 y 2 ) = 6 y

Agora as derivadas “normais”:

d x d t = d d t s e n ( t ) = c o s ( t )

d y d t = d d t c o s t = - s e n ( t )

Juntando tudo na expressão da regra da cadeia:

d z d t = ∂ z ∂ x d x d t + ∂ z ∂ y d y d t

d z d t = 2 x c o s t - 6 y s e n ( t )

Substituindo x e y pelas expressões em t :

d z d t = 2 s e n t c o s t - 6 c o s ( t ) s e n ( t )

Arrumando,

d z d t = - 4 s e n t c o s ( t )

Resposta

d z d t = - 4 s e n t c o s ( t )

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