1-10. Esboce o gráfico de F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t onde

3. f t = 1 t ,       s e   t ≥ 1 0 ,       s e   t < 1

Passo 1

Como a função f ( t ) é definida por partes, a integral também será, por isso devemos analisar cada expressão que essa integral pode assumir dependendo dos casos (os casos são definidos pelas restrições em t que ditam a lei a função f ( t ) ).

Caso 1: x < 1

Nesse caso, temos que ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ x 0 d t

Caso 3: x ≥ 1

Nesse caso, temos que ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 x 1 t d t

Desta forma, nossa função será definida por:

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = ∫ - ∞ x 0 d t ,       s e   x < 1 ∫ - ∞ - 1 0 d t + ∫ - 1 x 1 t d t ,       s e   x ≤ 1

Calculando as integrais de cada parte da função temos:

F x = ∫ - ∞ x f ( t ) d t = 0 ,       s e   x < 1 ln ⁡ x - ln ⁡ - 1 ,       s e x ≤ 1 = 0 ,       s e   x < 1 ln ⁡ x ,       s e   x ≤ 1

Agora basta esboçar cada parte de F ( x ) , em um único gráfico. A primeira parte define um reta horizontal e a segunda parte define uma curva logarítmica.

Resposta

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