Esboce o gráfico de

F x = ∫ - ∞ x f t   d t

onde

f t = t s e   0 ≤ t ≤ 1 1 t s e   t > 1 0 s e   t < 0

Passo 1

Primeiramente, vamos olhar para f ( x ) graficamente

Podemos separar então a nossa função F ( x ) em três etapas, para x < 0 , para 0 ≤ x ≤ 1 e x > 1 . Essa separação se deve pela própria separação da função f ( t ) .

Passo 2

Então vamos analisar cada etapa:

Se x < 0

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ x 0   d t = 0

Se 0 ≤ x ≤ 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ 0 0   d t + ∫ 0 x t   d t

= ∫ 0 x t   d t = t 2 2 0 x

= x 2 2

Se x > 1

F x = ∫ - ∞ x f t   d t = ∫ - ∞ 0 0   d t + ∫ 0 1 t   d t + ∫ 1 x 1 t   d t

= t 2 2 0 1 + ln ⁡ t 1 x = 1 2 + ln ⁡ x + ln ⁡ 1

= ln ⁡ x + 1 2

Podemos então definir a função como

F x = x 2 2 s e   0 ≤ x ≤ 1 ln ⁡ x + 1 2 s e   x > 1 0 s e   x < 0

Passo 3

Vamos então esboçar o gráfico de F ( x ) no plano:

Resposta

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