É convergente ou divergente? Justifique.

∫ 1 ∞ x + 1 x 6 + x + 1 3   d x

Passo 1

Devemos verificar se essa integral imprópria diverge ou converge. Neste caso, achar uma primitiva é bem complicado, de modo que vamos recorrer aos critérios de comparação!

Para usar o critério de comparação, temos que achar uma desigualdade. Note que

x + 1 x 6 + x + 1 3 = 1 x 4 3 ⋅ x + 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 3

Vamos definir

f x = x + 1 - x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 3

A seguir fazemos o esboço do gráfico de f :

Note que para x ≥ a = 2,596 , temos que f x ≤ 0 . Assim,

x + 1 ≤ x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 3 ⇒ x + 1 x 2 + 1 x 3 + 1 x 4 3 ≤ 1

Passo 2

Podemos quebrar a integram em duas:

∫ 1 ∞ x + 1 x 6 + x + 1 3   d x = ∫ 1 a x + 1 x 6 + x + 1 3   d x + ∫ a ∞ x + 1 x 6 + x + 1 3   d x

A primeira integral do lado direito será finita e igual a um número. Para a segunda integral, usaremos que para x ≥ a

x + 1 x 6 + x + 1 3 ≤ x - 4 3

Pelo teorema da página 70, temos que integrais do tipo

∫ a ∞ x - α   d x

sempre convergem se α > 1 . Neste caso, temos α = 4 / 3 , de modo que a integral

∫ a ∞ x - 4 3   d x

é convergente.

Passo 3

Assim, a integral

∫ a ∞ x + 1 x 6 + x + 1 3   d x

também será convergente, de modo que

∫ 1 ∞ x + 1 x 6 + x + 1 3   d x

converge!

Resposta

Converge.

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