Enunciado

11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,   y ) da função naquele ponto.

15. f x ,   y = 4 arctan ⁡ ( x y ) ,   ( 1 ,   1 )

Passo 1

Então pessoal, para uma função f ( x ,   y ) ser diferenciável em um ponto dado, segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart isso só acontece se as derivadas parciais f x e f y existirem perto do ponto ( a ,   b ) e forem contínuas em ( a ,   b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f x = 4 . y 1 + x y 2 = 4 y 1 + x ² y ²

f x 1 ,   1 = 4 . 1 1 + 1 = 2

f y = 4 . x 1 + x y 2 = 4 x 1 + x 2 y 2

f y 1 ,   1 = 4.1 1 + 1 = 2

Sendo assim, podemos concluir que f x e f y são contínuas para quaisquer valores de x e y , uma vez que são termos quadráticos. Portanto, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

A linearização L ( x ,   y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f 1 ,   1 = 4 arctan ⁡ ( 1 ) = 4 . π 4 = π

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = π + 2 x - 1 + 2 y - 1 = π + 2 x - 2 + 2 y - 2

∴ L x ,   y = 2 x + 2 y + π - 4

Resposta

L x ,   y = 2 x + 2 y + π - 4

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