Enunciado

11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,   y ) da função naquele ponto.

13. f x ,   y = y + sen ⁡ x y ,   ( 0 ,   3 )

Passo 1

Então pessoal, para uma função f ( x ,   y ) ser diferenciável em um ponto dado, segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart isso só acontece se as derivadas parciais f x e f y existirem perto do ponto ( a ,   b ) e forem contínuas em ( a ,   b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f x = 0 + cos ⁡ x y . 1 y = cos ⁡ x y y

f x 0 ,   3 = cos ⁡ 0 3 3 = 1 3

f y = 1 - cos ⁡ x y . x y 2

f y 0 ,   3 = 1 + cos ⁡ 0 3 . 0 3 ² = 1

Sendo assim, podemos concluir que f x e f y são contínuas desde que y ≠ 0 , uma vez que o denominador não pode ser zero nunca! Dessa forma, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

A linearização L ( x ,   y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f 0 ,   3 = 3 + sen ⁡ 0 3 = 3

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = 3 + 1 3 x - 0 + 1 y - 3 = 3 + 1 3 x + y - 3

∴ L x ,   y = 1 3 x + y

Resposta

L x ,   y = 1 3 x + y

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