Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.6 - Ex. 29
Expresse a integral como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas superfícies dadas.
Passo 1
O que a questão pede é que analisemos e representemos o espaço de integração de maneiras diferentes, dos três tipos diferentes para integral tripla e para cada tipo, dois tipos diferentes na dupla.
Primeiro vamos colocar entre funções das outras variáveis. Neste caso é fácil, podemos colocar da seguinte forma .
Agora analisando as outras variações, teremos no plano, a interseção quando é
Escolhendo uma das variáveis para isolar
Então temos a variação e como a elipse ta centrada na origem, o maior/menor valor de acontece quando
E a variação de é e temos a região e como
Se na equação isolarmos teremos a mesma região descrita de outra forma
E para encontrar a de , quando
E temos a região e
Passo 2
Se pegarmos a equação e isolarmos uma variável diferente como , e colocarmos ele em uma variação entre funções das outras variáveis
E temos a variação e então vamos analisar a região com variações das outras variáveis. Com temos os maiores valores das outras variáveis, então
Isolando temos
E temos a variação e quando temos a variação de
E temos a região e como
Se na equação isolarmos
E quando
E temos
Passo 3
Agora se isolarmos na equação temos
Com
Com
E temos
E se pegarmos e isolarmos
Quando
E temos