Enunciado

Expresse a integral ∭ E f x , y , z   d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies dadas.

y = 4 - x 2 - 4 z 2 ,           y = 0

Passo 1

O que a questão pede é que analisemos e representemos o espaço de integração E de 6 maneiras diferentes, dos três tipos diferentes para integral tripla e para cada tipo, dois tipos diferentes na dupla.

Primeiro vamos colocar y entre funções das outras variáveis. Neste caso é fácil, podemos colocar da seguinte forma 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 - 4 z 2 .

Agora analisando as outras variações, teremos no plano, a interseção quando y = 0 é

y = 4 - x 2 - 4 z 2

4 - x 2 - 4 z 2 = 0

Escolhendo uma das variáveis para isolar

x 2 = 4 - 4 z 2

x = ± 4 - 4 z 2

Então temos a variação - 4 - 4 z 2 ≤ x ≤ 4 - 4 z 2 e como a elipse ta centrada na origem, o maior/menor valor de z acontece quando x = 0

4 - x 2 - 4 z 2 = 0

4 - 4 z 2 = 0

4 z 2 = 4

z 2 = 1

z = ± 1

E a variação de z é - 1 ≤ z ≤ 1 e temos a região D 1 e E 1 como

D 1 = x , z |   - 1 ≤ z ≤ 1 , - 4 - 4 z 2 ≤ x ≤ 4 - 4 z 2

E 1 = x , y , z |   x , z ∈ D 1 , 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 - 4 z 2  

Se na equação 4 - x 2 - 4 z 2 = 0 isolarmos z teremos a mesma região descrita de outra forma

4 z 2 = 4 - x 2

z 2 = 1 - x 2 4

z = ± 1 - x 2 4

- 1 - x 2 4 ≤ z ≤ 1 - x 2 4

E para encontrar a de x , quando z = 0

4 - x 2 = 0

x 2 = 4

x = ± 2

- 2 ≤ x ≤ 2

E temos a região D 2 e E 2

D 2 = x , z | - 1 - x 2 4 ≤ z ≤ 1 - x 2 4 , - 2 ≤ x ≤ 2

E 2 = x , y , z |   x , z ∈ D 2 , 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 - 4 z 2  

Passo 2

Se pegarmos a equação y = 4 - x 2 - 4 z 2 e isolarmos uma variável diferente como x , e colocarmos ele em uma variação entre funções das outras variáveis

x 2 = 4 - 4 z 2 - y

x = ± 4 - 4 z 2 - y

E temos a variação - 4 - 4 z 2 - y ≤ x ≤ 4 - 4 z 2 - y e então vamos analisar a região D com variações das outras variáveis. Com x = 0 temos os maiores valores das outras variáveis, então

x 2 = 4 - 4 z 2 - y

0 = 4 - 4 z 2 - y

Isolando y temos

y = 4 - 4 z 2

E temos a variação 0 ≤ y ≤ 4 - 4 z 2 e quando y = 0 temos a variação de z

0 = 4 - 4 z 2

4 z 2 = 4

z 2 = 1

z = ± 1

- 1 ≤ z ≤ 1

E temos a região D 3 e E 3 como

D 3 = y , z | - 1 ≤ z ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 4 - 4 z 2

E 3 = x , y , z | y , z ∈ D 3 ,   - 4 - 4 z 2 - y ≤ x ≤ 4 - 4 z 2 - y

Se na equação 0 = 4 - 4 z 2 - y isolarmos z

4 z 2 = 4 - y

z 2 = 1 - y 4

z = ± 1 - y 4

- 1 - y 4 ≤ z ≤ 1 - y 4

E quando z = 0

0 = 4 - y

y = 4

0 ≤ y ≤ 4

E temos

D 4 = y , z | 0 ≤ y ≤ 4 ,   - 1 - y 4 ≤ z ≤ 1 - y 4

E 4 = x , y , z | y , z ∈ D 4 ,   - 4 - 4 z 2 - y ≤ x ≤ 4 - 4 z 2 - y

Passo 3

Agora se isolarmos z na equação y = 4 - x 2 - 4 z 2 temos

4 z 2 = 4 - x 2 - y

z 2 = 4 - x 2 - y 4

z = ± 4 - x 2 - y 4

- 4 - x 2 - y 4 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 4

Com z = 0

y = 4 - x 2

0 ≤ y ≤ 4 - x 2

Com y = 0

0 = 4 - x 2

x 2 = 4

x = ± 2

- 2 ≤ x ≤ 2

E temos

D 5 = x , y |   0 ≤ y ≤ 4 - x 2 , - 2 ≤ x ≤ 2  

E 5 = x , y , z | x , y ∈ D 5 , - 4 - x 2 - y 4 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 4

E se pegarmos y = 4 - x 2 e isolarmos x

x 2 = 4 - y

x = ± 4 - y

- 4 - y ≤ x ≤ 4 - y

Quando x = 0

4 - y = 0

y = 4

0 ≤ y ≤ 4

E temos

D 6 = x , y |   0 ≤ y ≤ 4 , - 4 - y ≤ x ≤ 4 - y  

E 6 = x , y , z | x , y ∈ D 6 , - 4 - x 2 - y 4 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 4

Resposta

D 1 = x , z |   - 1 ≤ z ≤ 1 , - 4 - 4 z 2 ≤ x ≤ 4 - 4 z 2

E 1 = x , y , z |   x , z ∈ D 1 , 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 - 4 z 2  

D 2 = x , z | - 1 - x 2 4 ≤ z ≤ 1 - x 2 4 , - 2 ≤ x ≤ 2

E 2 = x , y , z |   x , z ∈ D 2 , 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 - 4 z 2  

D 3 = y , z | - 1 ≤ z ≤ 1 ,   0 ≤ y ≤ 4 - 4 z 2

E 3 = x , y , z | y , z ∈ D 3 ,   - 4 - 4 z 2 - y ≤ x ≤ 4 - 4 z 2 - y

D 4 = y , z | 0 ≤ y ≤ 4 ,   - 1 - y 4 ≤ z ≤ 1 - y 4

E 4 = x , y , z | y , z ∈ D 4 ,   - 4 - 4 z 2 - y ≤ x ≤ 4 - 4 z 2 - y

D 5 = x , y |   0 ≤ y ≤ 4 - x 2 , - 2 ≤ x ≤ 2  

E 5 = x , y , z | x , y ∈ D 5 , - 4 - x 2 - y 4 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 4

D 6 = x , y |   0 ≤ y ≤ 4 , - 4 - y ≤ x ≤ 4 - y  

E 6 = x , y , z | x , y ∈ D 6 , - 4 - x 2 - y 4 ≤ z ≤ 4 - x 2 - y 4

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