Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 6.6 - Ex. 2

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Nos exercícios de 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.

2 )   f x ,   y = x 2 - y 2 , P 1 ,   2   n a   d i r e ç ã o   d e   v → = 2 i → + 2 j → .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é achar o vetor unitário de v → , que nós vamos chamar de b → .

Se lembram como calcular o vetor unitário??

Bem fácil, não é?!

b → = v → v →

Pelo problema nós sabemos que:

v → = ( 2 ,   2 )

E | v → | é dado por:

v → = 2 2 + 4 2 = 2 2

Substituindo:

b → = ( 2 ,   2 ) 2 2 = 1 2 , 1 2

Passo 2

Agora nós vamos desenhar um triângulo retângulo em que P M - = 1 ,   P N - = 1 2   e   M N - = 1 2 :

Como o triângulo ∆ M N P é semelhante ao ∆ Q R P :

P Q - = s

P R - = s 2  

  Q R - = s 2

Então, as coordenadas do ponto Q será o ponto P mais as medidas que acabamos de achar, não é?

Sendo assim, as coordenadas de Q serão 1 + s 2 ,   2 + s 2 .

Passo 3

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f 1 + s 2 ,   2 + s 2 - f ( 1 , 2 ) s

Sabendo que a função é f x ,   y = x 2 - y 2 :

f 1 + s 2 ,   1 + s 2 = 1 + s 2 2 - 2 + s 2 2 = 1 + 2 s 2 + s 2 2 - 4 + 4 s 2 + s 2 2

f 1 + s 2 ,   2 + s 2 = - 3 - 2 s 2

E:

f 1 , 2 = 1 2 - 2 2 = - 3

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ - 3 - 2 s 2 + 3 s

= lim s → 0 ⁡ - 2 s 2 s

= lim s → 0 ⁡ - 2 2

= - 2 2

Resolvendo o limite:

∂ f ∂ s P = - 2 2

Racionalizando:

∂ f ∂ s P = - 2

Finalizamos galeraa!

Resposta

∂ f ∂ s P = - 2

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