Enunciado

Nos exercícios de 2 a 6, calcular, usando a definição, a derivada direcional no ponto e direção indicados.

4 )   f x ,   y = 2 x + 3 y , P - 1 ,   2   n a   d i r e ç ã o   d a   r e t a   y = 2 x .

Passo 1

Bora começar?!

Então galera, a primeira coisa a fazer aqui é achar o vetor unitário de v → , que nós vamos chamar de b → .

Se lembram como calcular o vetor unitário??

Bem fácil, não é?!

b → = v → v →

Pelo problema nós sabemos que:

v → = ( x ,   2 x )

Um vetor que se enquadra aqui é:

v → = i → + 2 j →

E | v → | é dado por:

v → = 1 2 + 2 2 = 5

Substituindo:

b → = ( 1 ,   2 ) 5 = 1 5 , 2 5

Passo 2

Agora nós vamos desenhar um triângulo retângulo em que P M - = 1 ,   P N - = 1 5   e   M N - = 2 5 :

Como o triângulo ∆ M N P é semelhante ao ∆ Q R P :

P Q - = s

P R - = s 5  

  Q R - = 2 s 5

Então, as coordenadas do ponto Q na direção x será o comprimento que acabamos de achar ( P R - ) menos a coordenada do ponto P. E agora na direção y será o comprimento ( Q R - ) mais a coordenada do ponto P

Sendo assim, as coordenadas de Q serão s 5 - 1 ,   2 + 2 s 5 .

Passo 3

Agora nós vamos aplicar a definição 6.3.1:

∂ f ∂ s P = lim s → 0 ⁡ f Q - f ( P ) s

Substituindo nossas coordenadas:

= lim s → 0 ⁡ f s 5 - 1 ,   2 + 2 s 5 - f ( 1 1,2 ) s

Sabendo que a função é f x ,   y = 2 x + 3 y :

f s 5 - 1 ,   2 + 2 s 5 = 2 s 5 - 1 + 3 2 + 2 s 5 = 2 s 5 - 2 + 6 + 6 s 5

f s 5 - 1 ,   2 + 2 s 5 = 4 + 8 s 5

E:

f - 1,2 = 2 - 1 + 3.2 = 4

Agora nós substituímos:

= lim s → 0 ⁡ 4 + 8 s 5 - 4 s

= lim s → 0 ⁡ 8 s 5 s

= lim s → 0 ⁡ 8 5

= 8 5

Então:

∂ f ∂ s P = 8 5

Finalizamos galeraa!

Resposta

∂ f ∂ s P = 8 5

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Determine a derivada direcional de f ( x , y ) = x . y em P 2,8 na direção de Q 5,4 .