Enunciado

12. O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da orbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = ( 1,1 , 1 ) , e a temperatura de blindagem de sua espaçonave num ponto ( x , y , z ) é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

c) Infelizmente, a blindagem da espaçonave irá se danificar se a taxa de variação da temperatura for inferior a 14 e 2 graus/s. Que conjunto de possíveis direções ele pode tomar sem causar danos a sua espaçonave, a partir de P 0 com a velocidade do item b)?

Passo 1

Para descobrir as possível direções nas quais o vetor pode caminhar sem danificar a estrutura da nave, vamos estudar as possibilidades de vetores que satisfazem as nossas condições.

Sabendo que se tomar a direção v = 1 , 2,3 na velocidade do item b), a taxa de variação é de - 2 e 2 . 14 , sendo assim, se tomarmos a direção v = ( - 1 , - 2 , - 3 ) a taxa será de 2 e 2 . 14 , que satisfaz a condição que desejamos.

Agora vamos ver o quanto podemos modificar nosso vetor para continuar satisfazendo nossas condições, isto é:

∂ T ∂ v = ∇ T   .     v v = - 2 . - e - 6 , - 2 e - 6 , - 3 e - 6   .     w = e 2 . 14

onde u é o vetor que chega até o limite da nossa condição de taxa de variação.

Agora para controlar o angulo entre os vetores, vamos fazer o vetor w ser resultado do produto vetorial entre v   e   u , pois a forma de calcular produto vetorial envolve s e n   θ , onde θ é o angulo entre os vetores v e u .Agora vamos tomar v = ( a , b , c ) um vetor unitário, desta forma temos que:

w = v × u → w = v u . s e n   θ = v . 1 . s e n   θ

Como o resultado mínimo para taxa de variação que queremos agora é metade do resultado do item b) e como ela depende do produto interno, temos que fazer com que w = 1 2 v . Desta forma s e n   θ = 1 2 → θ = π 3 .

Assim, o maior angulo entre o vetor da direção a ser tomada e o vetor ∇ T P 0 deve ser de no máximo π 3   g r a u s .

Resposta

0 ≤ θ ≤ π 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

35. Seja f uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos A ( 1,3 ) , B ( 3,3 ) , C ( 1,7 ) e D 6,15 . A derivada direcional em A na direção do vetor A B → é
Suponha que as derivadas direcionais de f x ,y sejam conhecidas em um determinado ponto em duas direções não paralelas dadas por vetores unitários u e v . É possível determinar ∇ f nesse ponto? Em cas