Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 35
35. Seja uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos , , e . A derivada direcional em na direção do vetor é , e a derivada direcional em na direção é . Determine a derivada direcional de em na direção do vetor .
Passo 1
Os pontos que ele nos deu foram os seguinte:
, , e
Para o vetor , temos:
Logo, sua direção é .
Agora vamos ver para o vetor , temos:
Logo, sua direção é .
Passo 2
Como a direção do vetor é :
Mas o enunciado nos disse que a derivada direcional na direção é . Assim,
Como a direção do vetor é :
Mas o enunciado nos disse que a derivada direcional na direção é . Assim,
Então vamos ver como fica nossa vetor gradiente:
No ponto :
Usando o que achamos:
Passo 3
Como queremos saber a derivada direcional de em na direção do vetor , vamos fazer o seguinte:
Onde representa um vetor unitário na direção de .
Então vamos ver como fica nosso vetor :
Para acharmos o unitário, vamos primeiro encontrar o módulo:
Logo,
Agora é só correr pro abraço!
Assim,
Fazendo as contas: