Enunciado

35. Seja f uma função de duas variáveis que tenha derivadas parciais contínuas e considere os pontos A ( 1,3 ) , B ( 3,3 ) , C ( 1,7 ) e D 6,15 . A derivada direcional em A na direção do vetor A B → é 3 , e a derivada direcional em A na direção A C → é 26 . Determine a derivada direcional de f em A na direção do vetor A D → .

Passo 1

Os pontos que ele nos deu foram os seguinte:

A ( 1,3 ) , B ( 3,3 ) , C ( 1,7 ) e D 6,15

Para o vetor A B → , temos:

A B → = 3,3 - 1,3 = 2,0

Logo, sua direção é i .

Agora vamos ver para o vetor A C → , temos:

A C → = 1 , 7 - 1,3 = 0 , 4

Logo, sua direção é j .

Passo 2

Como a direção do vetor A B → é i :

D A B →   f 1,3 = f x 1,3

Mas o enunciado nos disse que a derivada direcional na direção A B → é 3 . Assim,

f x 1,3 = 3

Como a direção do vetor A C → é j :

D A C →   f 1,3 = f x 1,3

Mas o enunciado nos disse que a derivada direcional na direção A B → é 3 . Assim,

f y 1,3 = 3

Então vamos ver como fica nossa vetor gradiente:

∇ f x , y = f x x , y ,   f y x , y

No ponto ( 1,3 ) :

∇ f 1,3 = f x 1,3 ,   f y 1,3

Usando o que achamos:

∇ f 1,3 = 3,26

Passo 3

Como queremos saber a derivada direcional de f em A na direção do vetor A D → , vamos fazer o seguinte:

D A D → f 1,3 = ∇ f 1,3 ⋅ u

Onde u representa um vetor unitário na direção de A D → .

Então vamos ver como fica nosso vetor A D → :

A D → = ( 6,15 ) - ( 1,3 ) = ( 5 ,   12 )

Para acharmos o unitário, vamos primeiro encontrar o módulo:

A D → = 5 2 + 12 2 = 13

Logo,

u = 5 13 , 12 13

Agora é só correr pro abraço!

D   A D →   f 1,3 = ∇ f 1,3 ⋅ u

Assim,

D   A D →   f 1,3 = 3,26 ⋅ 5 13 , 12 13

Fazendo as contas:

D   A D →   f 1,3 = 327 13

Resposta

D   A D →   f 1,3 = 327 13

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