1-26. Calcule a integral.

22. ∫ 0 1 2 d x 1 - x 2 2

Passo 1

Então galera, para resolvermos essa integral vamos utilizar a seguinte substituição trigonométrica:

x = a . s e n   θ

Pois aparece um termo no nosso denominador do tipo:

a 2 - x 2

Comparando o termo que aparece na nossa integral, que é 1 - x 2 com o termo acima, teremos:

a 2 = 1

∴ a = 1

Logo:

x = 1 . s e n   θ

E disso tiramos:

d x = cos ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo os valores encontrados na nossa integral, teremos:

∫ 0 1 2 d x 1 - x 2 2 = ∫ 0 1 2 cos ⁡ θ 1 - s e n 2 θ 2 d θ

Mas o que seria 1 - s e n 2 θ ? Pela relação fundamental da trigonometria:

c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ

Então:

∫ 0 1 2 cos ⁡ θ 1 - s e n 2 θ 2 d θ = ∫ 0 1 2 cos ⁡ θ cos 4 ⁡ θ d θ = ∫ 0 1 2 s e c 3 θ d θ

Ufa! Foi chatinho, mas simplificamos nossa integral. Agora sim conseguimos resolvê-la!

Passo 3

Para a nossa nova integral vamos utilizar novamente a relação fundamental da trigonometria, se liga:

∫ 0 1 2 s e c 3 θ d θ = ∫ 0 1 2 sec ⁡ θ t g 2 θ + 1 d θ = ∫ 0 1 2 sec ⁡ θ t g 2 θ d θ + ∫ 0 1 2 sec ⁡ θ d θ

Essas duas integrais são tabeladas, galera! A primeira integral é resolvida utilizando redução de integrais e a segunda já tem resultado conhecido. Seus resultados são:

∫ 0 1 2 sec ⁡ θ t g 2 θ d θ + ∫ 0 1 2 sec ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ . t g   θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + t g   θ 1 2 0

Passo 4

Beleza galera, encontramos nossa integral, mas em termos de θ e queremos em termos de x . Da substituição trigonométrica que fizemos, tiramos que:

sec ⁡ θ = 1 1 - x 2

t g   θ = x 1 - x 2

Substituindo no nosso resultado, teremos:

1 2 sec ⁡ θ . t g   θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + t g   θ 1 2 0 = 1 2 1 1 - x 2 . x 1 - x 2 + 1 2 ln ⁡ 1 1 - x 2 + x 1 - x 2 1 2 0

Aplicando os intervalos de integração:

1 2 1 1 - x 2 . x 1 - x 2 + 1 2 ln ⁡ 1 1 - x 2 + x 1 - x 2 1 2 0 = 1 3 + 1 4 ln ⁡ 3 - 0

∴ ∫ 0 1 2 d x 1 - x 2 2 = 1 3 + 1 4 ln ⁡ 3

E esse é o nosso resultado, galera!

Resposta

∫ 0 1 2 d x 1 - x 2 2 = 1 3 + 1 4 ln ⁡ 3

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