Enunciado

A integral:

∫ x x 2 + 4 d x

Pode ser calculada ou por substituição trigonométrica ou pela substituição u = x 2 + 4 . Calcule-a das duas maneiras e mostre que os resultados são equivalentes.

Passo 1

Então galera, assim como o enunciado sugere, as duas formas de calcular o valor dessa integral são: utilizando substituição trigonométrica e utilizando substituição simples. Vamos primeiro resolver utilizando a substituição trigonométrica, ok? Let’s go então!

Como o nosso denominador está no formato a 2 + x 2 , a substituição mais interessante é:

x = a . tan ⁡ θ

Como nosso a = 2 , então:

x = 2 . tan ⁡ θ

E disso tiramos que:

d x = 2 . sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ x x 2 + 4 d x = ∫ 2 . tan ⁡ θ 4 . tan 2 ⁡ θ + 4 2 . sec 2 ⁡ θ d θ

Simplificando, teremos:

∫ 4 . tan ⁡ θ 4 tan 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ

∫ tan ⁡ θ sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tan ⁡ θ d θ

Passo 2

Ok, simplificamos bastante a nossa integral, pessoal! A integral da tangente é manjada, ou melhor, tabelada. Seu valor é:

∫ tan ⁡ θ d θ = ln ⁡ sec ⁡ θ + C

Voltando à variável x :

ln ⁡ sec ⁡ θ + C = ln ⁡ x 2 + 4 2 + C = ln ⁡ x 2 + 4 + C 1

E esse é o nosso resultado utilizando o primeiro método!

Passo 3

Agora utilizando a substituição simples, temos que:

u = x 2 + 4

Disso tiramos que:

d u = 2 x d x

∴ d u 2 = x d x

Substituindo na nossa integral:

1 2 ∫ d u u

E o resultado disso é:

1 2 ∫ d u u = 1 2 ln ⁡ u + C

Voltando à variável x :

1 2 ln ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C

1 2 ln ⁡ x 2 + 4 + C = ln ⁡ x 2 + 4 + C

Que é exatamente o mesmo resultado que chegamos utilizando a substituição trigonométrica! Sendo assim, fica provado que, de fato, os dois métodos são equivalentes!

Resposta

∫ x x 2 + 4 d x = ln ⁡ x 2 + 4 + C

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