Enunciado

Use o método de newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.

A raiz de x 4 - 2 x 3 + 5 x 2 - 6 = 0 no intervalo [ 1,2 ]

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a raiz da função f x = x 4 - 2 x 3 + 5 x 2 - 6 no intervalo [ 1,2 ] , usando o método de Newton com precisão de seis casas decimais.

Pra isso, precisamos lembrar que o método de Newton vai nos dar uma aproximação numérica para as raízes de uma equação com grau elevado, no nosso caso, temos uma equação de grau 4 . Essa aproximação é determinada por meio de iterações (tentativas), usando a fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Onde x n é a n - é s i m a aproximação, f ( x n ) é a nossa função aplicada no ponto e f ' ( x n ) é a derivada da função no ponto, que precisa ser diferente de zero.

Então, vamos atribuir valores para x n e vamos testar na equação, substituindo a função e sua derivada no ponto, até obtermos duas aproximações x n + 1 que tenham 6 casas decimais iguais.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por f x =   x 4 - 2 x 3 + 5 x 2 - 6 , então derivando, temos:

f ' x = 4 x 3 - 6 x 2 + 10 x

Como ele disse que existe uma raiz no intervalo [ 1,2 ] , vamos pegar x 1 no meio do nosso intervalo. Logo,

x 1 = 1,5

Agora é só usar a formula do método de Newton (que vimos no passo 1 ), substituindo x 1 , f ( x 1 ) e f ' ( x 1 ) :

x 2 = x 1 - x 1 4 - 2 x 1 3 + 5 x 1 2 - 6 4 x 1 3 - 6 x 1 2 + 10 x 1

Como x 1 = 1,5 , temos:

x 2 = 1,5 - ( 1,5 ) 4 - 2 ⋅ ( 1,5 ) 3 + 5 ⋅ ( 1,5 ) 2 - 6 4 ⋅ ( 1,5 ) 3 - 6 ⋅ ( 1,5 ) 2 + 10 ⋅ ( 1,5 )

Fazendo as contas, obtemos:

x 2 ≈ 1,2625

Passo 3

Agora o processo é análogo para achar o x 3 . Basta substituir x 2 no lugar x n . Assim:

x 3 ≈ 1,2625 - ( 1,2625 ) 4 - 2 ⋅ ( 1,2625 ) 3 + 5 ⋅ ( 1,2625 ) 2 - 6 4 ⋅ ( 1,2625 ) 3 - 6 ⋅ ( 1,2625 ) 2 + 10 ⋅ ( 1,2625 )

x 3 ≈ 1,218808

Da mesma forma, para x 4 , temos:

x 4 ≈   1,217563

Para x 5 :

x 5 ≈ 1,217562

Para x 6 :

x 6 ≈ 1,217562

Opa, esses últimos deram iguais. Logo, 1,217562 é a representação da raiz com seis casas decimais, que queríamos encontrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

1,217562

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