Enunciado

13-18. Encontre uma fórmula para o termo geral a n da sequência, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue.

15. - 3 ,   2 ,   - 4 3 , 8 9 ,   - 16 27 …

Passo 1

Então pessoal, para descobrirmos um termo geral a n para o padrão que nos foi dado, devemos analisar esses valores quanto: sinais, numeradores e denominadores. Tá confuso? Fica tranquilo que pouco a pouco vai começar a fazer mais sentido, prometo!

O sinal dos termos são intercalados, ou seja, uma hora é positivo e outra hora é negativo. Quando esse tipo de coisa aparece, temos que aparece um termo multiplicativo na expressão de a n , que é:

- 1 n - 1

Faz sentido esse termo existir porque para cada n diferente o sinal muda, e é exatamente o que acontece na nossa sequência.

O numerador dos termos tem formato de 2 n - 1 . Para observarmos que é verdade, basta substituirmos valores para n e ver se bate, saca só:

2 1 - 1 = 1

2 2 - 1 = 2

2 3 - 1 = 4

2 4 - 1 = 8

No entanto, o primeiro termo é - 3 , e para que a nossa expressão fique correta devemos multiplicar a nossa expressão por esse valor!

O denominador dos termos tem formato de 3 n - 1 , pelo mesmo motivo do numerador! Sendo assim, agora que temos todas as informações, vamos montar nossa expressão:

a n = - 3 . ( - 2 ) n - 1 3 n - 1

∴ a n = - 3 . - 2 3 n - 1

Passo 2

Agora só de curiosidade, bora testar!?

a n = - 3 . - 2 3 n - 1

Vamos começar pelo primeiro termo e seguir:

a 1 = - 3 - 2 3 0 = - 3

a 2 = - 3 - 2 3 1 = 2

a 3 = - 3 - 2 3 2 = - 4 3

a 4 = - 3 - 2 3 3 = 8 9

a 5 = - 3 - 2 3 4 = - 16 27

Comparando:

- 3 ,   2 ,   - 4 3 , 8 9 ,   - 16 27 …

Certinho!!! E o próximo termo seria:

a 6 = - 3 - 2 3 5 = 32 81

Resposta

a n = - 3 . - 2 3 n - 1

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