Enunciado

1-38 Calcule a integral

27- int_0^2 x e^(2 x) d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = x

d v = e^(2 x) d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = x

Derivando:

d u = d x

E

d v = e^(2 x) d x

Fazendo a integral:

int d v = int e^(2 x) d x

Substituindo 2 x por w , temos:

2 x = w

2 d x = d w

d x = (d w)/(2)

int e^(2 x) d x = (1)/(2) int e^w d w = (1)/(2) e^w

Voltando com a variável x , temos:

v = (1)/(2) e^(2 x)

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

int u d v = x xx (1)/(2) e^(2 x) - int (1)/(2) e^(2 x) d x

Gente, nem vamos esquentar nossa cabeça com essa integral porque nós já resolvemos ela lá em cima. Só não esqueçam que aqui nós temos o (1)/(2) .

int u d v = (x)/(2) e^(2 x) - (1)/(4) e^(2 x)

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

int_0^2 u d v = ((x)/(2) e^(2 x)|_0^2 - ((1)/(4) e^(2 x)|_0^2

int_0^2 u d v = e^4 - ((e^4)/(4) - (1)/(4)) = (1)/(4) (3 e^4 + 1)

Resposta

(1)/(4) (3 e^4 + 1)

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