1-38 Calcule a integral

27- ∫ 0 2 x   e 2 x   d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = x

d v = e 2 x d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = x

Derivando:

d u = d x

E

d v = e 2 x d x

Fazendo a integral:

∫ d v = ∫ e 2 x d x

Substituindo 2 x por w , temos:

2 x = w

2   d x = d w

d x = d w 2

∫ e 2 x d x = 1 2 ∫ e w d w = 1 2   e w

Voltando com a variável x , temos:

v = 1 2 e 2 x

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

∫ u   d v = x × 1 2   e 2 x - ∫ 1 2   e 2 x   d x

Gente, nem vamos esquentar nossa cabeça com essa integral porque nós já resolvemos ela lá em cima. Só não esqueçam que aqui nós temos o 1 2 .

∫ u   d v = x 2   e 2 x - 1 4 e 2 x    

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

∫ 0 2 u   d v = x 2   e 2 x 0 2 -   1 4 e 2 x 0 2

∫ 0 2 u   d v = e 4 -   e 4 4 - 1 4 = 1 4   3   e 4 + 1

Resposta

1 4   3   e 4 + 1

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