Calcule a integral.

∫ 0 1 t cosh ⁡ t   d t

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos a seguinte integral:

∫ 0 1 t cosh ⁡ t   d t

Não é uma integral tão banal de resolver, então vamos precisar usar um método de integração! Pra a gente usar substituição simples teríamos que ter selecionar um u e a derivada do u , d u também deve ser encontrada na expressão!

Isso não acontece aqui, então vamos seguir com integração por partes!

Dica: Sempre tente resolver a integral pelo método mais simples!

Para integrar por partes temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Para escolher o u usamos a seguinte ordem de prioridade:

Identificando u = t e d v = cosh ⁡ t   d t , temos que d u = d t e v = s e n h   t . Nessa questão você precisar lembrar que cosh ⁡ x ' = s e n h   x e que s e n h   x ' = cosh ⁡ x .

A integral por partes será

∫ 0 1 t cosh ⁡ t   d t = t   s e n h   t 0 1 - ∫ 0 1 s e n h   t   d t

Passo 2

Assim, temos que

∫ 0 1 t cosh ⁡ t   d t = s e n h   1 - 0 - ∫ 0 1 s e n h   t   d t = s e n h   1 - ∫ 0 1 s e n h   t   d t

Passo 3

Como a primitiva do seno hiperbólico é o cosseno hiperbólico:

∫ 0 1 t cosh ⁡ t   d t = s e n h   1 - cosh ⁡ t 0 1 = s e n h   1 - cosh ⁡ 1 + cosh ⁡ 0

Como cosh ⁡ t = e - t + e t 2 , temos que cosh ⁡ 0 = 1 + 1 2 = 1 , segue que

∫ 0 1 t cosh ⁡ t   d t = s e n h   1 - cosh ⁡ 1 + 1

Resposta

s e n h   1 - cosh ⁡ 1 + 1

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