1-38 Calcule a integral

29- ∫ 1 e x 2 l n x   d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = l n x

d v = x 2 d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = ln ⁡ x

Derivando:

d u = 1 x d x

E

d v = x 2 d x

Fazendo a integral:

∫ d v = ∫ x 2 d x

v = x 3 3

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

∫ u   d v = l n x × x 3 3 - ∫ x 3 3 × 1 x   d x

∫ u   d v = l n x × x 3 3 - 1 3 ∫ x 2   d x

∫ u   d v = l n x × x 3 3 - x 3 9  

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

∫ 1 e u   d v = ( l n x × x 3 3 ) 1 e -   x 3 9 1 e

∫ 1 e u   d v = e 3 3 -   e 3 9 - 1 9 = 2 e 3 + 1 9

Resposta

2 e 3 + 1 9

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