1-38 Calcule a integral.

28. ∫ 0 1 x e - 5 x d x

Passo 1

Galeraaaa,a gente vai resolver usando o método de integração por partes. Então, primeiro vamos ver quem vai ser o nosso u e o nosso d v . Que tal usarmos aquele macete, hein?! O famoso L I A T E .

Se você não sabe, é um macete que eu super recomendo você gravar. É muiiiito fácil e ajuda bastante.

l → f u n ç õ e s   l o g a r í t m i c a s

i → i n v e r s a s   t r i g o n o m é t r i c a s

a → f u n ç õ e s   a l g é b r i c a s

t → f u n ç õ e s   t r i g o n o m é t r i c a s

e → f u n ç õ e s   e x p o n e n c i a i s

Para escolher o nosso u , é só seguir essa ordem de preferência que começa de cima para baixo.

Então, sejam u = x e e - 5 x = d v .

u = x                   →       d u = d x e - 5 x = d v         →       v = e - 5 x - 5

Passo 2

Assim, vamos ter que

∫ 0 1 x e - 5 x d x = x e - 5 x - 5 0 1 - ∫ 0 1 e - 5 x - 5 d x

Agora ficou fácil né?!

Resolvendo a integral do lado direito, obtemos

∫ 0 1 e - 5 x - 5 d x = - 1 5 ∫ 0 1 e - 5 x d x = - 1 5 e - 5 x - 5 0 1 = e - 5 25 - 1 25

e - 5 - 1 25

Por último, é só a gente calcular isso aqui

x e - 5 x - 5 0 1

Molezaaa!!!

x e - 5 x - 5 0 1 = - e - 5 x 5

Somando as respostas, vemos que

Ops.... não se esqueça do menos antes da nossa integral!!!

∫ 0 1 x e - 5 x d x = - ( e - 5 x - 1 ) 25 - e - 5 x 5 = - 6 e - 5 x + 1 25

Resposta

- 6 e - 5 x + 1 25

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