1-38 Calcule a integral

31- ∫ 0 π x   s e n   2 x   d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = x

d v = s e n   2 x   d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = x

Derivando:

d u = d x

E

d v =   s e n   2 x   d x

Fazendo a integral:

∫ d v = ∫ s e n   2 x   d x

Vamos fazer uma substituição:

2 x = w

2   d x = d w

d x = d w 2

∫ s e n   2 x   d x = 1 2 ∫ s e n   w   d w =   - 1 2 cos ⁡ 2 x  

v = - 1 2 cos ⁡ 2 x  

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

∫ u   d v = - x 2 × cos ⁡ 2 x - ∫ ( - cos ⁡ 2 x ) / 2   d x

∫ u   d v = - x 2 × cos ⁡ 2 x - ∫ - s e n   2 x 4 d x

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

∫ 0 π u   d v = - x 2 × cos ⁡ 2 x 0 π -   - s e n   2 x 4 0 π

∫ 0 π u   d v = - π 2

Resposta

- π 2

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