1-38 Calcule a integral

31- ∫ - 1 1 ln ⁡   ( x + 2 )   d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = ln ⁡ ( x + 2 )

d v = x + 2   d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = l n ⁡ ( x + 2 )

Derivando:

d u = 1 x + 2 d x

E

d v =   d x

Fazendo a integral:

∫ d v = ∫ d x

∫ d x = x

v = x

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

∫ u   d v = ln ⁡ x + 2 × x - ∫ x × 1 x + 2 d x

Bora resolver essa integral, força guerreiros !!!

∫ x x + 2   d x

Vamos fazer uma substituição:

x + 2 = w

d w = d x

Consequentemente,

x = w - 2

Substituindo na integral:

∫ w - 2 w   d w = ∫ d w - ∫ 2 w = w - 2 ln ⁡ w

Desfazendo a substituição, temos:

- 2 ln ⁡ x + 2 + ( x + 2 )

Dessa forma,

∫ u   d v = ln ⁡ x + 2 × x - - 2 ln ⁡ x + 2 + ( x + 2 )

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

∫ - 1 1 u   d v = ln ⁡ x + 2 × x - 1 1 -   - 2 ln ⁡ x + 2 + ( x + 2 ) - 1 1

∫ - 1 1 u   d v = ln ⁡ 3 -   [ - 2 ln ⁡ 3 + 3 - ( 1 ) ] = 3 ln ⁡ 3 - 2

Resposta

3 ln ⁡ 3 - 2

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