Enunciado

1-38 Calcule a integral

31- int_(- 1)^1 ln ( x + 2 ) d x

Passo 1

E aí ? Prontos pra resolver mais uma integral ??? Eu espero que a sua resposta seja simmmm, mas independente disso, vamos ao trabalho

Caraaa, quando você vê esse tipo de integral uma coisa tem que vir logo na sua cabeça:

LIATE

Whattt ???

Esse é o macete que a gente usa pra escolher o u (da integral por partes, lembra ??? Alguém tem que ser o u e o outro vai ser o d v .)

Tudo bem.... Mas o que significa essa abreviação ???

(logarítima > inversa trigonométrica > algébrica > trigonométrica > exponencial)

Essa é a ordem de prioridade das funções candidatas a serem o u , oK ?

Passo 2

Bom, nesse caso a prioridade é da função logarítmica. Dessa forma,

u = ln ( x + 2 )

d v = x + 2 d x

Agora, nós precisamos encontrar o d u e o v :

u = l n ( x + 2 )

Derivando:

d u = (1)/(x + 2) d x

E

d v = d x

Fazendo a integral:

int d v = int d x

int d x = x

v = x

Passo 3

Gente, além do LIATE, nós temos que lembrar da regrinha da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Aplicando os nossos termos na equação, temos:

int u d v = ln (x + 2) xx x - int x xx (1)/(x + 2) d x

Bora resolver essa integral, força guerreiros !!!

int (x)/(x + 2) d x

Vamos fazer uma substituição:

x + 2 = w

d w = d x

Consequentemente,

x = w - 2

Substituindo na integral:

int (w - 2)/(w) d w = int d w - int (2)/(w) = w - 2 ln w

Desfazendo a substituição, temos:

- 2 ln (x + 2) + ( x + 2 )

Dessa forma,

int u d v = ln (x + 2) xx x - (- 2 ln (x + 2) + ( x + 2) )

Galera, nós só não podemos nos iludir achando que a questão acabou por aqui, lembrem-se que essa é um integral definida. Dessa forma,

int_(- 1)^1 u d v = (ln (x + 2) xx x|_(- 1)^1 - ((- 2 ln (x + 2) + ( x + 2) )|_(- 1)^1

int_(- 1)^1 u d v = ln 3 - [ - 2 ln 3 + 3 - ( 1 ) ] = 3 ln 3 - 2

Resposta

3 ln 3 - 2

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